5.5.2 简单的三角恒等变换（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

5.5.2　简单的三角恒等变换 第 1 课时　简单的三角恒等变换(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式． 2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题． 3．掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明． (一)半角公式 三角函数 半角公式 正弦 sin＝± 余弦 cos＝± 正切 tan＝± ， tan＝＝ 微点助解 (1)理解半角的含义：角是角α的半角，角α是角2α的半角，角2α是角4α的半角． (2)半角公式中的±号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留±两个符号；若给出α的具体范围时，则先求的所在范围，然后根据所在的范围选用符号． [基点训练] 1．判断正误： (1)sin 15°＝± .(　 ) (2)cos 15°＝ .(　 ) (3)tan＝.(　 ) (4)对于任意的α∈R，sin＝sin α都不成立．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．cos2－的值为(　 ) A.　 B.　 　C.　 D. 解析：选B　cos2－＝－＝. 3．若cos α＝，且α∈(0，π)，则sin＝________. 解析：∵α∈(0，π)，∴∈，∴sin>0. 又cos α＝1－2sin2＝，∴sin＝＝. 答案： (二)积化和差、和差化积 1．积化和差公式 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]； cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]． 2．和差化积公式 sin θ＋sin φ＝2sincos； sin θ－sin φ＝2cossin； cos θ＋cos φ＝2coscos； cos θ－cos φ＝－2sinsin. [基点训练] 1．下列等式正确的是(　 ) A．sin x＋sin y＝2sinsin B．sin x－sin y＝2coscos C．cos x＋cos y＝2coscos D．cos x－cos y＝2sinsin 解析：选C　由和差化积公式知C正确． 2．sin 75°－sin 15°的值为(　 ) A. B. C. D．－ 解析：选B　sin 75°－sin 15°＝2cossin＝2××＝.故选B. 题型(一)　利用半角公式求值 [典例]　已知cos α＝，α为第四象限角，求sin，cos，tan.　 [解]　∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角． 当为第二象限角时，sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝－＝－； 当为第四象限角时，sin＝－＝－， cos＝＝，tan＝－ ＝－. 　[方法技巧]　利用半角公式求值的思路 [针对训练] 已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 与tan 的值． 解：因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝， 所以cos α＝－，cos β＝. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 因为<α<π，且0<β<， 所以0<α－β<π.即0<<. 所以cos＝＝＝. 法一：由0<<， 得sin＝＝. 所以tan＝＝. 法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝， 得sin(α－β)＝＝. 所以tan＝＝＝. 题型(二)　积化和差、和差化积公式的应用 [典例]　(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°； (2)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值． [解]　(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝－sin 50°＋cos 40° ＝－sin 50°＋sin 50°＝. (2)∵cos α－cos β＝， ∴－2sinsin＝.① 又∵sin α－sin β＝－， ∴2cossin＝－.② ∵sin≠0， ∴由①②，得－tan＝－，即tan＝. ∴sin(α＋β)＝ ＝＝＝. [方法技巧] 1．积化和差公式的功能与关键 (1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)． ②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质． (2)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数． 2．和差化积公式应用时的注意事项 (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，