5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第 1 课时　两角差的余弦公式(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.经历推导两角差余弦公式的过程，掌握余弦公式的结构特征． 2．知道两角差余弦公式的意义，掌握两角差的余弦公式的应用． 两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β 简记符号 C(α－β) 使用条件 α，β为任意角 微点助解 (1)公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式． (2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的α，“”相当于公式中的β. (3)公式的灵活应用：公式的应用要讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形应用，还要创造条件应用公式，如构造角：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)等． [基点训练] 1．判断正误： (1)存在角α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β.(　 ) (2)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos α－cos β.(　 ) (3)对于任意角α，β，总有cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．cos 25°＝(　 ) A．cos 30°cos 5°－sin 30°sin 5° B．cos 30°cos 5°＋sin 30°sin 5° C．sin 30°cos 5°－cos 30°sin 5° D．cos 30°sin 5°－sin 30°cos 5° 解析：选B　cos 25°＝cos(30°－5°)＝cos 30°cos 5°＋sin 30°sin 5°. 3．cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝(　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：选B　cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos(72°－12°)＝cos 60°＝. 题型(一)　给角求值问题 [典例]　求下列各式的值： (1)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°； (2)sin 100°sin(－160°) ＋cos 200°cos(－280°)． [解]　(1)原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝. (2)原式＝sin(180°－80°)sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)cos(80°－360°)＝sin 80°(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80°＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°)＝－cos(20°－80°)＝－. [方法技巧] 两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解． (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． [针对训练] 1.cos 15°＋sin 15°的值是(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选A　原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝. 2．cos 165°＝________. 解析：cos 165°＝cos(180°－15°) ＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°) ＝－＝－. 答案：－ 题型(二)　给值(式)求值问题 [典例]　已知α，β∈，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值. [解]　因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)． 则sin(α＋β)＞0，sin(α＋β)＝＝，cos α＝＝，所以cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝. [方法技巧] 给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角． [针对训练] 1．已知sin α＝，α∈，则cos的值为________． 解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－＝－＝－. ∴cos＝coscos α＋sinsin α＝×＋×＝. 答案： 2．若α，β都是锐角，sin α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝___