5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第 1 课时　正余弦函数的周期性与奇偶性(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解周期函数概念，能熟练的求出简单三角函数的周期． 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性， 能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性． (一)函数的周期性 1．周期函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数的周期性 正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)是它们的周期，最小正周期是2π. 微点助解 (1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立． (2)不是所有的函数都是周期函数． (3)周期函数的周期不止一个，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期． (4)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可． (5)若不加特殊说明，一般求三角函数的周期的问题，求的是函数的最小正周期． [基点训练] 1．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　 ) 解析：选D　观察图象易知，只有D选项的图象不是周期函数的图象． 2．若函数y＝f(x)的周期是4，且f(2)＝0，则f(22)＝________. 答案：0 3．已知对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________． 解析：由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一) (二)正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数y＝sin x(x∈R)是奇函数，图象关于原点对称； (2)余弦函数y＝cos x(x∈R)是偶函数，图象关于y轴对称． 微点助解 (1)判断函数的奇偶性时，一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，当定义域不关于原点对称时，正弦型函数和余弦型函数就不具有奇偶性． (2)由奇偶性可知正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称． (3)正弦曲线和余弦曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形．函数y＝sin x，x∈R的对称轴是x＝＋kπ，k∈Z，对称中心是(kπ，0)，k∈Z；函数y＝cos x，x∈R的对称轴是x＝kπ，k∈Z，对称中心是，k∈Z. (4)函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0，x∈R)的最小正周期为T＝. [基点训练] 1．函数y＝f(x)＝－sin x的奇偶性是(　 ) A．奇函数 　 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 　　 D．非奇非偶函数 解析：选A　因为x∈R，f(－x)＝－sin(－x)＝sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数． 2. y＝sin是(　 ) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数 解析：选D　因为y＝sin＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数． 题型(一)　正、余弦函数的周期及应用 [典例]　求下列函数的周期： (1)y＝sin(x∈R)； (2)y＝|sin x|(x∈R)． [解]　(1)法一：令z＝2x＋，∵x∈R，∴z∈R，函数y＝sin z的最小正周期是2π，就是说变量z只要且至少要增加到z＋2π，函数y＝sin z(z∈R)的值才能重复取得，而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，从而函数f(x)＝sin(x∈R)的周期是π. 法二：∵f(x)＝sin中ω＝2，∴T＝＝π. (2)法一：作出y＝|sin x|的图象如图． 由图象知，y＝|sin x|的周期为π. 法二：令f(x)＝|sin x|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， ∴y＝|sin x|(x∈R)的周期为π. [变式拓展] 1．本例(2)中函数改为y＝|cos x|，则其周期又是什么？ 解：作出函数y＝|cos x|的图象，如图所示，观察图象可知此函数的周期是π. 2．本例(2)中函数改为y＝cos |x|，则其周期又是什么？ 解：由诱导公式得y＝cos |x|＝cos x，所以其周期T＝2π. [方法技巧]　求三角函数周期的方法 定义法 即利用周期函数的定义求解 公式法 对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A