5.2.2 同角三角函数的基本关系（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

5．2.2　同角三角函数的基本关系(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用． 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan_α 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 微点助解 1．对同角三角函数的基本关系式的理解 (1)“同角”的含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角，关系式都成立． (2)对于sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. (4)同角三角函数的平方关系sin2α＋cos2α＝1体现了三角函数定义中的关系式x2＋y2＝r2；商数关系tan α＝体现了点的纵、横坐标的除式运算． 2．基本关系式的变形公式 (1)sin2α＝1－cos2α； (2)cos2α＝1－sin2α； (3)sin α＝±； (4)cos α＝±； (5)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (6)tan α＝⇒ [基点训练] 1．判断正误： (1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．(　 ) (2)当sin α＝时，cos α＝.(　 ) (3)由于平方关系对任意角都成立，故sin2α＋cos2β＝1也成立．(　 ) (4)当α≠kπ＋，k∈Z时，cos2α＝.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2. 等于(　 ) A．sin B．cos C．－sin D．－cos 解析：选A　∵0<<， ∴sin>0. ∴ ＝ ＝sin. 3．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________. 解析：tan α＝＝. 答案： 题型(一)　已知某角的三角函数值求其他三角函数值 [典例]　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． [解]　∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限角． 当α是第二象限角时，sin α＞0，tan α＜0， ∴sin α＝＝ ＝， tan α＝＝－. 当α是第三象限角时，sin α＜0，tan α＞0， ∴sin α＝－＝－ ＝－， tan α＝＝. [变式拓展] 若本例变为已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α.　① 又sin2α＋cos2α＝1，　　② 由①②，得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝. 又α是第三象限角， ∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－. [方法技巧] 求同角三角函数值的一般步骤 (1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限； (2)对角所在象限进行分类讨论； (3)利用两个基本关系式求出其他三角函数值； (4)根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值． [针对训练] 在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝__________，cos A＝________. 解析：因为tan A＝，A为三角形的内角，所以角A为第一象限角．由tan A＝＝，得sin A＝cos A．又sin2A＋cos2A＝1，所以cos2A＋cos2A＝1，即cos2A＝.所以cos A＝，sin A＝cos A＝. 答案：　 题型(二)　利用同角三角函数基本关系化简、证明 [典例]　(1)化简： ＋(180°＜α＜270°)．　 (2)求证：＝. [解]　(1)∵180°＜α＜270°， ∴sin α＜0. 原式＝＋ ＝＋ ＝＝－. (2)证明：∵左边＝＝＝右边， ∴原等式成立． [方法技巧] 1．三角函数式化简的常用方法 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：切化弦、整体代换、“1”的代换等． (2)原则：由繁到简，变异为同． [针对训练] 1．化简＋. 解：因为<α<π， 所以cos α＝－，sin α＝. 所以原式＝＋ ＝－＝－＝0. 2．求证：＝. 证明：因为左边＝＝， 右边＝ ＝＝ ＝＝， 所以左边＝右边，原等式成立． 题型(三)　同角三角函数基本关系的灵活运用 [典例]　(1)已知tan α＝2，求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值． (2)已知sin α＋cos α＝