5.2.1 三角函数的概念（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

　　　　　　5.2.1　三角函数的概念 第 1 课时　三角函数的概念(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．借助单位圆理解任意角的三角函数的定义． 2．能利用定义求三角函数值及参数值． 1．三角函数的定义 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 定义 正弦函数 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α 余弦函数 把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan_α(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 2．三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点O重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 微点助解 三角函数的值与点P在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，我们只需计算点P到原点O的距离r＝|OP|＝，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 3．三角函数的定义域 三角函数 解析式 定义域 正弦函数 y＝sin x R 余弦函数 y＝cos x R 正切函数 y＝tan x [基点训练] 1．判断正误： (1)若α的终边与x轴负半轴重合，则tan α不存在．(　 ) (2)若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－.(　 ) (3)正切函数y＝tan x的定义域为.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知角α的终边与单位圆的交点为P，则tan α＝(　 ) A. B．－ C. D．－ 答案：B 3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选D　因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5.所以cos α＝＝－. 题型(一)　已知角的终边上一点求三角函数值 [典例]　(1)已知角α的终边与单位圆的交点为，则sin α＝(　 ) A．－ 　　　　　　　 B．± C．± D．± (2)求的正弦、余弦和正切值. [解析]　(1)由题意，得2＋y2＝1.∴y＝±.∴sin α＝y＝±.故选C. 答案：C (2)在直角坐标系中，作∠AOB＝(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为，所以sin＝，cos＝－，tan＝－. [方法技巧] 利用单位圆法求三角函数的值，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． [针对训练] 1．已知角α的终边经过点M(1，)，则cos α＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由三角函数的定义可得cos α＝＝. 2．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为，则sin αtan α＝(　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：选A　由P，得P.则sin α＝＝，tan α＝＝－.故sin αtan α＝－. 题型(二)　已知角α终边所在直线求三角函数值 [典例]　已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，求角α余弦值为(　 ) A. B．± C. D．± [解析]　因为角α的终边在直线3x－y＝0上，则角α在第一象限或第三象限，可设点(x0,3x0)为角α的终边上一点，所以cos α＝±＝±. [答案]　D [方法技巧] 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意角的终边为射线，所以应分两种情况处理．取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值． [针对训练] 已知角α的终边落在直线2x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：直线2x＋y＝0，即y＝－2x，经过第二、第四象限． 在第二象限取直线上的点(－1,2)， 则r＝＝3. 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2.在第四象限取直线上的点(1，－2)，则r＝ ＝3.所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－2. 题型(三)　利用三角函数定义求点的坐标或参数 [典例]　已知角α终边经过点P(－8m，－6cos 60°)，且cos α＝－，则m的值为(　 ) A. B．－ C．－ D. [解析]　由点P的坐标可化为(－8m，－3)，得r＝＝.由三角函数的定义知，cos α＝＝＝－.即100m2＝64m2＋9，解得m＝±.当m＝－时，点P的坐标为(4，－3)，则cos α为正，不符合题意．故m＝. [答案]　A　 [方法技巧]