4.5.3 函数模型的应用（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

4.5.3　函数模型的应用(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具． 2．能利用已知函数模型求解实际问题． 3．能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题． 几类常见函数的模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 微点助解 1．应用函数模型解决应用问题的注意事项 (1)正确理解题意，选择适当的函数模型； (2)要特别关注实际问题中的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域； (3)在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性． 2．用函数建立数学模型的关键 一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图、引入变量、建立平面直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言； 二是对得到的函数模型进行解答，得到数学问题的解． [基点训练] 1．判断正误： (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来描述．(　 ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．(　 ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．(　 ) (4)无论运用哪种函数模型，解决实际问题都要注重实际条件的限制．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林(　 ) A．14 400亩 B．172 800亩 C．17 280亩 D．20 736亩 答案：C 题型(一)　指数型函数模型 [典例]　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减． (1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(保留小数点后一位，参考数据lg 2≈0.3，lg 3≈0.48)． [解]　(1)最初的质量为500 g. 经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过2年，w＝500×0.92； 由此推知，t年后，w＝500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t＝250， 即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数， 得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5， ∴t＝＝≈7.5. 即这种放射性元素的半衰期为7.5年． [方法技巧] (1)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可以用指数型函数模型表示． (2)利用指数函数的单调性即可得出函数的单调性，利用指数式与对数式的转化可得出函数的表达式． [针对训练] 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？ 解：由题意知40－24＝(88－24)×， 即＝，解得h＝10. 故原式可化简为T－24＝(88－24)×， 当T＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×，即＝＝＝3，∴t＝30. 因此，需要30 min可降温到32 ℃. 题型(二)　对数型函数模型 [典例]　某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：v＝ωln，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中ω为喷流相对火箭的速度，m0和mk分别是火箭的初始质量和发动机熄火(推进剂用完)时的质量，被称为火箭的质量比． (1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度(保留2位有效数字)； (2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10.如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．(参考数据：ln 2≈0.69) [解]　(1)由题意，ω＝2，m0＝160，mk＝40， ∴v＝ωln＝2×ln＝2ln 4＝4ln