4.4.2 对数函数的图象和性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

　　　　　4.4.2　对数函数的图象和性质 第 1 课时　对数函数的图象和性质(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质． 2.会类比指数函数研究对数函数的性质． 3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用. 4.了解反函数的概念与图象特点． (一)对数函数的图象和性质 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值 的变化 当0＜x＜1时，y＞0，当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0 单调性 减函数 增函数 微点助解 (1)注意点：讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论． (2)图象的特点：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象无限靠近y轴，但永远不会与y轴相交；在同一坐标系内，y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与y＝logx(a>0，且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称． (3)底数对图象的影响：比较图象与y＝1的交点，此时y＝1与对数函数图象交点的坐标为(a,1)．交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大，即沿着直线y＝1由左向右看，底数a增大(如图)： [基点训练] 1．判断正误： (1)函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)．(　 ) (2)函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数．(　 ) (3)由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度可得y＝log2x＋1的图象．(　 ) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．已知函数f(x)＝logax的图象如图所示，则a的取值可能是(　 ) A．10 B. C. D. 解析：选A　由函数图象的变化趋势可知，底数a>1，故选A. 3．若函数f(x)＝log(a＋1)x在(0，＋∞)上单调递减，则a的取值范围为____________． 解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以0<a＋1<1，即－1<a<0. 答案：(－1,0) (二)反函数 1．定义 一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换． 2．性质 (1)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同． (2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． [基点训练] 1．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f的值为(　 ) A．－log23 B．－log32 C. D. 解析：选B　由已知，得y＝f(x)＝log3x，所以f＝log3＝－log32. 2．已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　∵g(x)是f(x)的反函数，∴g(x)＝2x.∴g(2)＝22＝4.则f(g(2))＝f(4)＝log24＝2. 题型(一)　对数函数的图象及应用 [典例]　(1)函数y＝lg(x＋1)的图象大致是(　 ) (2)已知f(x)＝|log3x|，若f(a)＞f(2)，则a的取值范围为______________． [解析]　(1)因为y＝lg x过点(1,0)，函数单调递增，将其向左平移一个单位长度可得y＝lg(x＋1)过点(0,0)，函数单调递增．故选C. (2)作出函数f(x)的图象，如图所示．由于f(2)＝f，故结合图象可知，当f(a)＞f(2)时，a的取值范围为∪(2，＋∞)． [答案]　(1)C　(2)∪(2，＋∞) [方法技巧] 1．根据对数函数图象判断底数大小的方法 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 2．函数图象的变换规律 (1)一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度后，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的． (2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的． [针对训练] 1．若函数y＝loga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b＝______，c＝______. 解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.又当a>0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2,3＋b＝1.∴b＝－2，c＝2. 答案：－2　2 2．画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间． 解：函