4.2.1 指数函数的概念（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

　4.2.1　指数函数的概念(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2．会从形式上判断一个函数是否是指数函数． 3．会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题． 逐点清(一)　指数函数的概念 [多维度理解] 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 微点助解 1．指数函数有4个特点 (1)定义域必须是R； (2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项； (3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0且a≠1)不是指数函数； (4)底数a的范围必须是a>0且a≠1. 2．指数函数中规定a大于0且不等于1的理由 (1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，如y＝(－2)x，对于x＝，，…时在实数范围内函数值不存在． (3)如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1. 3．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域为什么是R? 指数的范围已经拓展到了实数，当a＞0，且a≠1，x是一个实数时，ax表示一个确定的实数，即ax(a＞0，且a≠1)对任意实数x都有意义，因此指数函数y＝ax的定义域是R. [细微点练明] 1．判断正误： (1)y＝x2是指数函数．(　 ) (2)指数函数y＝ax中，a可以为负数．(　 ) (3)y＝2x－1是指数函数．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．函数y＝(a－2)ax是指数函数，则(　 ) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1 解析：选C　若函数y＝(a－2)ax是指数函数，则a－2＝1，a＞0，且a≠1，解得a＝3，故选C. 3．给出下列函数： ①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝πx；⑥y＝4x2；⑦y＝xx；⑧y＝(2a－1)x. 其中为指数函数的有________(填序号)． 解析：对于③，－4x是－1与4x的乘积，故③不是指数函数；对于④，底数－4<0，故④不是指数函数；对于⑥，指数不是自变量x，而是x的函数x2，故⑥不是指数函数；对于②、⑦，底数x不是常数，故②、⑦不是指数函数．由指数函数的概念可知，①⑤⑧是指数函数． 答案：①⑤⑧ 逐点清(二)　求指数函数的解析式或值 [多维度理解] (1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键． (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式． [细微点练明] 1．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2，则f(0)＋f(2)＝(　 ) A．4 B．5 C．6 D．8 解析：选B　由f(1)＝2⇒a＝2⇒f(x)＝2x，所以f(0)＋f(2)＝20＋22＝5. 2．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　 ) A．－2 B．2 C．－2 D．2 解析：选B　因为函数f(x)＝·ax是指数函数，所以a－1＝1，a＞0，且a≠1，即a＝4.所以f(x)＝4x.则f＝4＝2. 3.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝ax(a>1)的图象经过点E，B，则a等于(　 ) A. B. C．2 D．3 解析：选A　设点C(0，m)(m>0)，则由已知条件可得A，E，B.因为点E，B在指数函数y＝ax(a>1)的图象上，所以解得m＝2，所以a＝－(舍去)或a＝. 4．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(3)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)， 则f＝a＝＝5， 得a＝5， 故f(x)＝5x. 因此，f(3)＝53＝125. 答案：125 逐点清(三)　指数增长与衰减的应用 在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． [典例]　某地2022年年底人口数为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区人口数的年平均增长率为1%，要使2032年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米；参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6,1.0111≈1.115 7)． [解析]　设平均每年新增住房面积为x万平方米，则≥7，解得x≥86.61≈87(万平方米)． [答案]　87 [方法技巧] (1)由特殊