课时跟踪检测50 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时跟踪检测（五十） 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 A级——综合提能 1．(多选)下列函数中，周期为4π的是(　 ) A．y＝sin B．y＝cos C．y＝ D．y＝2cosx 解析：选AD　选项A中，∵ω＝，∴周期T＝＝4π.故A正确；选项B中，∵ω＝2，∴周期T＝＝π.故B错误；选项C中，∵y＝sin的周期为4π，∴y＝的周期为2π.故C错误；选项D中，∵ω＝，∴周期T＝＝4π.故D正确．故选A、D. 2．(多选)设函数f(x)＝sin，x∈R，则关于f(x)的说法正确的是(　 ) A．最小正周期为π B．最小正周期为 C．奇函数 D．偶函数 解析：选AD　f(x)＝sin＝－cos 2x，最小正周期T＝＝π，所以A正确，B错误；由f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，可知函数f(x)＝sin为偶函数，所以D正确，C错误．故选A、D. 3．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(　 ) 解析：选B　由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B. 4．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝ (　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为f(x)是偶函数，所以＝＋kπ(k∈Z)．所以φ＝＋3kπ(k∈Z)．又φ∈[0,2π]，所以φ＝. 5．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f等于(　 ) A．1 B. C．－1 D．－ 解析：选A　∵函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，∴周期T＝＝π.解得ω＝2.即f(x)＝sin.∴f＝sin＝sin＝sin＝1. 6．函数y＝cos的最小正周期是________． 解析：y＝cos＝cos＝cos＝sinx，所以最小正周期为T＝＝4. 答案：4 7．已知f(x)为奇函数，且周期为，若f＝－1，则f＝________. 解析：∵T＝，且f(x)为奇函数，∴f＝f＝f＝－f＝－(－1)＝1. 答案：1 8．写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________. 解析：基本初等函数中既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，所以此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sin ωx且T＝＝2⇒f(x)＝sin πx. 答案：sin πx(答案不唯一) 9．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xcos(π＋x)； (2)f(x)＝lg(sin x＋)． 解：(1)∵f(x)＝－xcos x， ∴f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcos x＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (2)∵f(－x)＋f(x)＝lg[sin(－x)＋]＋lg(sin x＋) ＝lg(sin2x＋1－sin2x)＝0， 即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 10．已知函数y＝sin x＋|sin x|. (1)画出此函数的简图； (2)此函数是周期函数吗？若是，请求出最小正周期． 解：(1)y＝sin x＋|sin x| ＝ 图象如图所示． (2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π. B级——应用创新 1．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于(　 ) A．1 B. C．0 D．－ 解析：选B　f＝f＝f＝sin＝. 2．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是________． 解析：∵T＝＝≤2，∴k≥4π.又k∈Z，∴正整数k的最小值为13. 答案：13 3．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是____________． 解析：当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，∵f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－sin x．∴f(x)＝sin |x|，x∈R. 答案：f(x)＝sin |x| 4．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)． (1)求证：函数f(x)是周期函数； (2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－， ∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)． ∴函数f(x)是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是f(x)的一个周期，∴f(5)＝f(1)＝－5. ∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝. 5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x. (1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式； (2)画出