课时跟踪检测41 函数模型的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时跟踪检测（四十一） 函数模型的应用 A级——综合提能 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　 ) A．y＝2x B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 解析：选D　分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后变成4×2＝23个，…，分裂x次后变成y＝2x＋1个． 2．有一组实验数据如下表所示： t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 u 1.5 4.04 7.5 12 18.01 则能体现这些数据关系的函数模型是(　 ) A．u＝log2t B．u＝2t－2 C．u＝ D．u＝2t－2 解析：选C　可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示． 由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除选项B.故选C. 3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税．有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是(　 ) A．560万元 B．420万元 C．350万元 D．320万元 解析：选D　设该公司的年收入为a万元，则280p%＋(a－280)(p＋2)%＝a(p＋0.25)%， 解得a＝＝320. 4．设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx，其中c，k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×105Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×105Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.890.6≈0.93)(　 ) A．9.4×104 Pa B．9.4×106 Pa C．9×103 Pa D．9×105 Pa 解析：选A　依题意得1.01×105＝ce0＝c,0.90×105＝ce1 000k，因此e1 000k＝≈0.89，因此当x＝600时，y＝1.01×105e600k＝1.01×105(e1 000k)0.6＝1.01×105×0.890.6≈9.4×104.故选A. 5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/mL，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车(　 ) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：选C　设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则60(1－25%)x＜20，∴x＜，当x＝3时，3＝＞；当x＝4时，4＝＜；结合选项可知他至少经过4个小时才能驾驶汽车．故选C. 6．已知某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ为正常数．由放射性元素的这种性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间t为________． 解析：因为N＝N0e－λt，所以＝e－λt，两边取以e为底的对数，所以t＝－ln. 答案：t＝－ln 7．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的实验：将一块质量为7 g的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5 min末测得未溶解糖块的质量为3.5 g．联想到教科书中研究“物体冷却”的问题，小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k是常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：g)代表t min末未溶解糖块的质量． (1)求a的值； (2)求k的值； (3)设这个实验中t min末已溶解的糖块的质量为M，请画出M随t变化的函数关系的草图，并简要描述实验中糖块的溶解过程． 解：(1)由题意，当t＝0时，S＝a＝7. (2)因为5 min末测得未溶解糖块的质量为3.5 g，所以3.5＝7e－5k.解得k＝. (3)M随t变化的函数关系的草图如图所示．溶解过程，随着时间的增加，逐渐溶解． B级——应用创新 1．已知一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t等于(　 ) A．lg B．lg C. D. 解析：选C　由题意得a(1－8%)t＝，所以0.92t＝0.5.两边取对数得lg 0.92t＝lg 0.5.所以tlg 0.92＝lg 0.5.故t＝. 2．所谓声强，是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度，用I表示，人类能听到的声强范围很广，其中能听见的1 000 Hz声音的声强(约