4.1.1 n次方根与根式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

第四章 指数函数与对数函数 课时目标 4.1　指　数 第 1 课时　n次方根与根式 (概念课—逐点理清式教学) 理解n次方根、根式的概念，明确正数的偶次方根有两个，偶次根式下被开方数必须非负． 01 02 03 逐点清(一) n次方根 逐点清(二)　根　式 逐点清(三)　根式的化简与求值 3 [多维度理解] n次方根的定义与性质 逐点清(一)　n次方根 xn＝a 相反数 n次算术根 0 续表 微点助解 (1)在n次方根的概念中，关键是数a的n次方根x满足xn＝a，因此求一个数a的n次方根，就是求一个数的n次方等于a. (2)n次方根实际上就是立方根与平方根的推广． (3)n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算． 1．(多选)若xn＝a(x≠0)，则下列说法正确的是 (　 ) A．当n为奇数时，x的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为x C．当n为偶数时，x的n次方根为±a D．当n为偶数时，a的n次方根为±x 答案：BD　 细微点练明 解析：当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于(±x)n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以B、D的说法是正确的，故选B、D. [多维度理解] 根式的定义与性质 逐点清(二)　根　式 根式 根指数 a |a| a 细微点练明 逐点清(三)　根式的化简与求值 针对训练 “课时跟踪检测”见“课时跟踪检测（二十七）” (单击进入电子文档) 23 谢 谢 观 看 24 定义 一般地，如果_______，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 当n为奇数时，任意实数a都有n次方根，且只有一个，记作_____ 性质 当n为偶数时，正数的偶次方根有两个，且是_______，记作_______.负数没有偶次方根，零的偶次方根为______ 正数a的正n次方根叫做a的____________(n∈N*，n>1) ± 2．(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.＝3 B．16的4次方根是±2 C.＝±3 D.＝|x＋y| 答案：BD　 解析：负数的3次方根是一个负数，＝－3，故A错误；16的4次方根有两个，为±2，故B正确；＝3，故C错误；是非负数，所以＝|x＋y|，故D正确． 定义 式子叫做_____，这里n叫做_______，a叫做被开方数 性质 (1) ＝ (2)()n＝____(n∈N*，且n>1) 微点助解 根式符号的注意点 (1)n＞1，且n∈N*. (2)当n为大于1的奇数时，对任意的实数a都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，从而有()n＝a. (3)当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义； (a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，a的另一个n次方根是－，从而有(±)n＝a. (4)式子对任意a∈R都有意义． 1．判断正误： (1)()5＝－2. (　 ) (2)()4＝－2. (　 ) (3)()4＝2. (　 ) (4)＝－5. (　 ) (5)＝b. (　 ) (6)＝b2. (　 ) (7)()n总有意义． (　 ) (8) 总有意义． (　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√　(7)×　(8)√ 2．已知xy≠0，且＝－2xy，则以下结论正确的是(　 ) A．xy<0 B．xy>0 C．x>0，y>0 D．x<0，y<0 答案：A　 解析：由＝|2xy|＝－2xy，xy≠0知xy<0.所以x，y异号，A正确． 3．若x≠0，则|x|－＋的值为 (　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C　 解析：因为x≠0，所以|x|－＋＝|x|－|x|＋＝1. 4．若＝，则实数a的取值范围是(　 ) A．R B．{0} C. D. 答案：D　 解析：由＝＝＝，可得2a－1≤0，即a≤.所以实数a的取值范围是. [典例]　化简下列各式： (1)(n>1，且n∈N*)； (2). [解]　(1)＝|3－π|.当n为奇数时，＝3－π；当n为偶数时，＝|3－π|＝π－3. (2)＝|x－y|. 当x≥y时，＝x－y； 当x<y时，＝y－x. [方法技巧] 化简根式的注意点 (1)在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数． (2)对于形如(m>0，n>0)的双重根式，当满足a>b>0，a＋b＝m，ab＝n时，有＝±. 求下列各式的值： (1)＋； (2)－＋. 解：(1)法一：原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2. 法二：令x＝＋，两边平方得x2＝6＋2＝8.因为x>0，所以x＝2. (2)原式＝－＋＝＋－(2－)＋2－＝2. $$