4.5.2 用二分法求方程的近似解（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1.了解二分法的原理及其适用条件． 2.掌握二分法的实施步骤． 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想． 课时目标 4.5.2　用二分法求方程的近似解 (强基课—梯度进阶式教学) 01 02 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 1．二分法的概念 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的_____所在区间_________，使所得区间的两个_____逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 零点 一分为二 端点 2．用二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. (2)求区间(a，b)的中点c. (3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令____＝c； ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令____ ＝c. b a (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 微点助解 (1)二分法的求解原理是函数零点存在定理． (2)二分法的基本思想：逼近思想和算法思想． (3)用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的零点为变号零点时适用，对函数的零点为不变号零点时不适用．如函数f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． (4)用二分法求函数的零点时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的较小的区间，这样可以减小计算量． 1.判断正误： (1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　 ) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点． (　 ) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． (　 ) (4)只有求函数的零点时才用到二分法． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 基点训练 3．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是(　 ) 答案：A [答案]　CD [方法技巧] 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． 针对训练 答案：D　 解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3. 答案：C　 解析：因为f(0)＝02－6＝－6，f(1)＝12－6＝－5，f(2)＝22－6＝－2，f(3)＝32－6＝3，f(4)＝42－6＝10，所以f(2)f(3)＜0.故零点在区间(2,3)内． 题型(二)　用二分法求方程的近似解(或函数零点的近似解) [典例]　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)． [解]　令f(x)＝2x3＋3x－3， 经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)f(1)<0， 所以函数f(x)在(0,1)内存在零点． 即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0， 又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解． 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： 1．若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？ 解：在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.75可作为方程的一个近似解． 变式拓展 2．若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝1”其结论又如何呢？ 解：设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0. ∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解， 记为x0. 取2与3的平均数2.5， ∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5； 再取2与2.5的平均数2.25， ∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5； 如此继续下去，有 f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)； f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)． ∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1， ∴方程x2－2x＝1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5. [方法技巧] 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用函数零点存在定理