4.5.1 函数的零点与方程的解（课件PPT）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系． 2．会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间． 3．能借助函数单调性及图象判断零点个数． 课时目标 4.5.1　函数的零点与方程的解(强基课—梯度进阶式教学) 01 02 课前环节/预知教材·自主落实主干基础 课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通 2 (一)函数的零点 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． f(x)＝0 (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 微点助解 (1)函数的零点不是一个点，而是一个数，当自变量取该数时，其函数值等于零． (2)不是所有的函数都有零点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点． (3)若函数y＝f(x)有零点，则零点一定在函数的定义域内． (4)求零点可转化为求对应方程的解. 不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 基点训练 1．下列各图象表示的函数中，没有零点的是 (　 ) 答案：D　 解析：结合函数零点的定义可知选项D没有零点． 3．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个． 答案：3 解析：∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2. (二)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条_________的曲线，且有__________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 连续不断 f(a)f(b)<0 f(c)＝0 微点助解 (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0； (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件； (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 基点训练 1.判断正误： (1)若f(a)f(b)>0，则f(x)在[a，b]上无零点． (　 ) (2)若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． (　 ) (3)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0. (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则 (　 ) A．方程f(x)＝0一定有一实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 答案：D　 解析：∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管有f(－1)f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1，3)内可能无实数解． 3．函数f(x)＝3x－4的零点所在区间为 (　 ) A．(0,1) B．(－1,0) C．(2,3) D．(1,2) 答案：D　 [解]　(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2. 所以函数的零点为－2. (2)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2. 变式拓展 1．将本例(1)的题设改为：若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值． 2．将本例(1)的题设改为：已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． [方法技巧]　探究函数零点的两种求法 代数法 求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点 几何法 与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 针对训练 题型(二)　函数零点所在区间的判定 变式拓展 解析：令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，由函数零点存在定理得f(2)f(3)＜0，∴零点所在区间为(2,3)，∴k＝2. 2．若本例(2)的题设改为：若函数f(x)＝ex＋4x＋a的零点所在的区间为(0,1)，则实数a的取值范围是________． [方法技巧] 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 解方程法 当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上 利用函数零点存在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点 数形结合法 通过画函数图