专题4.3 对数（讲+练，7大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题4.3 对数 知识点一 对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式 知识点二 对数的性质 1.对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN 2.loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N 3.对数恒等式alogaN＝N{解读：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．} 知识点三 对数的运算性质 （1）loga(M·N)＝logaM＋logaN （2）loga＝logaM－logaN （3）logaMn＝nlogaM(n∈R)． （a>0，且a≠1，M>0，N>0） 知识点四 换底公式 logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0) 考点01 对数的判断与求值 【典例1】（2023·全国·高一专题练习）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 考点02 指数式与对数式的互化 【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）将下列对数式改写为指数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）将下列指数式改写为对数式（，且）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【规律方法】 对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图： 并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N⇔x＝logaN. 考点03 对数的运算 【典例5】（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【典例6】（2024秋·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2). 【规律方法】 1.对数性质在计算中的应用 (1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0. (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 2. 运用对数恒等式时注意事项 (1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式： ①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数． (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用． 考点04 对数运算性质的应用 【典例7】（2023·全国·高一专题练习）若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【典例8】（2023·全国·高一随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【规律方法】 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并． (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 考点05 应用换底公式的化简、求值 【典例9】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C．4 D．5 【典例10】（2023·全国·高一随堂练习）已知，，请用a，b表示下列各数的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【规律方法】 1.应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化． 3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路： 思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值． 考点06 应用换底公式的证明恒等式 【典例11】（2022春·广西崇左·高一校考阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【典例12】（2022·上海·高一专题练习）已知在中，，角A，B，C所对应的三条边长分别为a，b，c．求证：． 考点07 其它综合问题 【典例13】（2023秋·陕西·高三校联考阶段练习）已知，，当变化时，最小值为4，则 . 【典例14】（2004·