专题4.2 指数函数（讲+练，12大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题4.2 指数函数 知识点一 指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R. 【特别提醒】形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 知识点二 指数函数的图象和性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为；值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即当x＝时，y＝ 当x>0时，恒有y>1； 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为增函数 函数在定义域R上为减函数 知识点三 常用结论 （1）指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，. （2）指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b. 由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大． 考点01 指数函数的判断与求值 【典例1】（2023秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【典例2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，则 . 考点02 根据指数函数求参数 【典例3】（2023·全国·高一专题练习）若函数为指数函数，则（    ） A．或 B．且 C． D． 【典例4】（2023·高一课时练习）已知函数和都是指数函数，求a＋b的值． 考点03 求指数函数的解析式 【典例5】（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）若函数的图象经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 【典例6】（2023春·河南商丘·高二校联考阶段练习）已知函数满足：；当时，.则满足这两个条件的一个函数为 . 考点04 指数（型）函数图象的辨识 【典例7】（2022秋·陕西延安·高一校考期末）函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【典例8】（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（    ） A．     B．   C．   D．   【规律方法】 识图的三种常用方法 （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 考点05 指数函数图象过定点问题 【典例9】（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①，②，③，④的图像，则a，b，c，d与0和1的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【典例10】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 【规律方法】 过定点的图象 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) 与的图象关于y轴对称； (3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减． 考点06 指数函数图象的应用 【典例11】（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（       ）． A． B． C． D． 【典例12】（2023·全国·高一专题练习）若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是 ． 考点07 指数（型）函数的定义域、值域 【典例13】（2023·全国·高一专题练习）已知的值域为，则x的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 【典例14】（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的定义域和值域： (1)； (2)． 【总结提升】 形如y＝af (x)的函数的值域，可先求f (x)的值域再根据函数y＝at的单调性确定y＝af (x)的值域． 考点08 根据指数（型）函数的定义域、值域（最值）求参数 【