专题4.4 对数函数（讲+练，12大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题4.4 对数函数 知识点一 对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 知识点二 对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点三 反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 知识点四 常用结论 1.在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． 2.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”． (1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”； (2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”． 考点01 对数函数的判断与解析式 【典例1】（2022秋·北京东城·高一校考期中）函数为对数函数，则 ． 【典例2】（2023·全国·高一专题练习）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 . 【总结提升】 对数函数的解析式同时满足： ①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x. 考点02 对数（型）函数的求值 【典例3】（2022秋·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中）已知函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【典例4】（2023秋·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知则 ． 考点03 求对数（复合）函数定义域 【典例5】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌市八中校考阶段练习）函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【典例6】（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【总结提升】 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性． 考点04 对数（复合）函数的值域 【典例7】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的值域是 ． 【典例8】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若函数的最大值为2，求实数a的值. 考点05 根据函数的值域求参数 【典例9】（2023秋·高一课时练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 ． 【典例10】（2023·全国·高一专题练习）设且，若函数的值域是，则的取值范围是 . 【总结提升】 对数型复合函数的值域 对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)解f(x)>0，求出函数的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． 考点06 对数（型）函数图象的辨识 【典例11】（2023秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【典例12】【多选题】（2023·全国·高一专题练习）已知，函数与的图像可能是（    ） A．   B．     C．   D．   【规律方法】 识图的三种常用方法 （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时