第24章 圆（知识清单）（20个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦）-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

第24章 圆（知识清单）（20个考点梳理+典型例题+核心素养提升+中考热点聚焦） 【知识导图】 【知识清单】 考点1.圆（重点） (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 要点诠释： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 要点诠释： 　 ①定点为圆心，定长为半径； 　　②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 【例1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．以为直径的圆 B．的延长线 C．的垂直平分线 D．平行的直线 【变式】（2022秋·黑龙江大庆·七年级统考期中）在一张长12厘米，宽6厘米的长方形纸中，最多可以剪（    ）个直径为3厘米的圆． A．4 B．8 C．12 D．16 考点2.圆的有关概念 1.弦： 连结圆上任意两点的线段叫做弦. 2.直径： 经过圆心的弦叫做直径. 要点诠释： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 3.弧的有关概念： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： 　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 5.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 【例2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中）下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称 【变式】（2022秋·河南商丘·九年级统考期中）下列说法中正确的有 （填序号）． ①直径是圆中最大的弦；②长度相等的两条弧一定是等弧；③半径相等的两个圆是等圆； ④面积相等的两个圆是等圆． 考点3.垂直于弦的直径（难点） 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理的逆定理1 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 垂径定理的逆定理2 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。 要点诠释： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【例3】（2022秋·九年级统考期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（    ） A．7 B．4 C．5 D．6 考点4.弧、弦、圆心角的关系（重点） 1.圆心角定义 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.圆心角定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对的其余各对量也相等． 要点诠释： 　 等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； 【例4】（2023•杭州二模）如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（　　） A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90° 【变式】（2022秋•越城区期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为（　　） A．4π B．6π C．8π D．9π 知识点5.圆周角（重点） 圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对