专题13.3.1，13.4等腰三角形与最短路径问题（4大热点115题）-简单数学之2023-2024 学年八年级上册一点三练系列（人教版）

第十三章 轴对称 专题13.3-13.4等腰三角形与最短路径问题 知识点回顾 1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合； 2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴）等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边） 3、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一； 4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴） 5、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形； 6、在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 7、最短路径的选择  ①当两点在某一条直线的两侧时,这两点的最短距离就是连接这两点的线段与直线的交点就是最短路径的点. ②当两点在某条直线的同侧时,这两点到直线上某一点的最短距离的作法: 作任意一个点关于这条直线的对称点,然后再连接对称点与另一点之间的线段,与直线的交点就是最短距离的点的位置. 注意：在解决最短路径的问题时,我们通常利用平移、轴对称等变化把已知问题转化成容易解决的问题,从而作出最短路径的选择. 热点训练 热点一：等腰三角形的性质 1练基础 1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知三角形纸片，，，将其折叠，如图，使点与点重合，折痕为，点，分别在，上，那么的度数为（  ）    A． B． C． D． 2．（2023·安徽滁州·校考一模）如图，中，于点D，若，则有（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，等腰直角三角形的直角顶点A落在矩形纸片的一边上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在证明等腰三角形的性质定理：“等腰三角形的两底角相等”时，李老师在黑板上出示了“已知，在中，，求证：． 甲同学做法：“作的平分线，利用“”证明，则”； 乙同学做法：“作边上的高，利用“”证明，则”； 丙同学做法：“作边上的中线，利用“”证明，则”； 下列说法正确的是(    ) A．甲、乙、丙做法都对 B．甲、乙、丙做法都不对 C．只有乙做法不对 D．只有丙做法不对 5．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在中，，的外角，为边上一点，分别以、所在直线为对称轴，作点的对称点、，连接、．则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2023秋·黑龙江大庆·八年级校联考开学考试）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点、到脚杆的距离相等，点、、在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是（    ）    A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的三线合一 D．是的垂直平分线 7．（2023秋·福建莆田·八年级校考开学考试）如图，是等腰三角形底边上的中线，平分，交于点E，，，则的面积是（    ）    A． B． C．8 D．6 8．（2023春·甘肃张掖·七年级校联考期末）高台县崇文楼始建2011年，取“崇文尚德·大运高台”之意，总高米，由台明、楼身和宝顶三部分组成．建这座楼的主要目的是为了延续高台人杰地灵、源远流长的文脉，在当今文化大发展时代，激励莘莘学子努力学习、求学上进，将来回报和建设家乡、建设祖国．如图，“崇文楼”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（    ）    A． B． C． D． 9．（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）如图，在中，，是的中点，，则 度．    10．（2023春·四川达州·七年级校考期末）如图，已知中，，为高，为中线，与相交于点O，若，，则的面积为 ．    11．（2023春·福建宁德·七年级统考期末）请将下面的说理过程和理由补充完整． 已知：如图，在等腰中，，点D，E分别在，上，．试说明：．    解：是等腰三角形，， （ ① ）． ， （等式的性质）． 即 ② ． 在和中， （ ④ ）． （ ⑤ ）． 12．（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）如图，已知是延长线上的点．    (1)过点在射线右侧作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：平分． 2练巩固 13．（2023春·河北保定·八年级校考