专题14.5 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大类型-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题14.5 解题技巧专题：特殊的因式分解法之五大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 提多项式的公因式的因式分解法】 1 【类型二 综合利用提公因式法和公式法因式分解】 2 【类型三 十字相乘法因式分解】 4 【类型四 分组分解法因式分解】 9 【类型五 因式分解的应用】 14 【过关检测】 17 【典型例题】 【类型一 提多项式的公因式的因式分解法】 例题：（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）分解因式： ． 【变式训练】 1．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式： ． 2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）分解因式： ． 【类型二 综合利用提公因式法和公式法因式分解】 例题：（2023春·江苏苏州·七年级期末）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）因式分解： (1) (2) 2．（2022秋·四川巴中·八年级统考期中）因式分解： (1)； (2) 【类型三 十字相乘法因式分解】 例题：（2023春·安徽阜阳·七年级校考阶段练习）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式；． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如下图，画“×”号，将1、2写在“×”号左边，将、3或1、写在“×”号的右边，共有如下图的四种情形：    第三步：验算“交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数： ①的系数为；②的系数为； ③的系数为；④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此有：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 问题： (1)分解因式：； ①完善下图中“×”号右边的数使得；“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数；    ②分解因式：_______； (2)分解因式：． ①完善横线上的数字；    ②分解因式：________． 【变式训练】 1．（2023春·广西北海·七年级统考期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解 例如：求： (1) (2) 2．（2023春·广西梧州·七年级统考期中）阅读理解题 在因式分解中有一种常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，这个方法其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解， 基本式子为：， 例如：分解因式，，， 按此排列：    交叉相乘，乘积相加等于， 得到，这就是十字相乘法． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先分解因式，再求值：，其中． 3．（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如图）． 第一步：二次项； 第二步：常数项，画“十字图”验算“交叉相乘之和”；    第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项． 即． 像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 运用结论： (1)将多项式进行因式分解，可以表示为_______________； (2)若可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数的所有可能值． 4．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）阅读下列材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如：（1）；（2）． 根据材料，把下列式子进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【类型四 分组分解法因式分解】 例题：（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）《义务教育数学课程标准（2022年版》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式； (3)分解因式：． 【变式训练】 1．（2023春·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考阶段练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等． 如“2+2”分法： 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 2．（2023春·山东青岛·八年级统考期末）【问题提出】：分解因式：（1）    （2） 【问题探究】：某数学“