特训01 特殊平行四边形压轴题（五大题型归纳)-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版 ）

特训01 特殊平行四边形压轴题（五大题型归纳） 题型1：存在性问题 1．如图，平面直角坐标系中直线：分别与轴，轴交于点和点，过点的直线与轴交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若为线段上一点，为线段上一点，当时，求的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在（2）的结论下，将沿射线方向平移得，使落在直线上，若为直线上一点，为平面内一点，当以点为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)求直线的解析式； (2)点E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G，当时，求点E的坐标； (3)如图2，若点M为线段的中点，点N为直线上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 3．如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边在y轴上，的长分别是一元二次方程的两个根，A，且，P为上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)求过点P的反比例函数解析式； (3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，交于点C，直线与y轴交于点G．平移线段，点B，C的对应点、分别在直线和y轴上，连接．    (1)若C点横坐标为4，求k的值； (2)若，求点C的坐标； (3)如图2，作点E关于直线的对称点F，连接，是否存在四边形是平行四边形的情况，若存在；求出k的值；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，． (1)如图1，当点恰好落在边上时，则的长为______(请直接写出答案)； (2)如图2，所在直线与、分别交于点、，且．求线段的长度． (3)如图3，设点为边的中点，连接，，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 题型2：动态问题 6．点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．    (1)如图1，连接，，判断与的位置关系和数量关系，并证明； (2)如图2，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点且点恰好是的中点，连接，，若，，求； (3)如图3，将正方形绕点旋转至如图的位置，且，连接，交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 7．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中．    (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（、相遇时除外）？ 答：________；（直接填空，不用说明） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 8．已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接、． (1)如图1，求证： ： (2)直线与相交于点G． ①如图2，于点，于点，求证：四边形是正方形； ②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 9．综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（）与长的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为，连接； 第二步：折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为； 第三步：过点折叠纸片，使得点分别落在边上，展开，折痕为． 试说明：矩形是1阶奇妙矩形．   　　  　　  　　   （3）方法迁移： 用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形边上（不与端点重合）任意一点，连接，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形的周长与矩形的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 10．如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．    (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 11．在中，，，点O为AB的中点，点D