特训05 相似三角形 压轴题（六大题型归纳）-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（北师大版 ）

特训05 相似三角形 压轴题（六大题型归纳） 题型1：动点问题 1．某托管服务数学兴趣小组针对如下问题进行探究，在等边中，，点在射线上运动，连接，以为一边在右侧作等边．    (1)【问题发现】如图（1），当点在线段上运动时不与点重合,连接则线段与的数量关系是___________ ；直线与的位置关系是___________ ； (2)【拓展延伸】如图（2），当点在线段的延长线上运动时，直线相交于点，请探究的面积与的面积之间的数量关系； (3)【问题解决】当点在射线上运动时点不与点重合，直线相交于点，若的面积是，请求出线段的长． 2．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中线段与线段的关系．    (2)迁移探究 小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下： 如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出线段与的关系，并说明理由．    (3)拓展应用 如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．（直接写出答案不必说明理由）    3．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．    【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明） 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 题型2：最值、定值问题 4．在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．    (1)如图1，当点落在的延长线上时，求的长； (2)如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长； (3)如图3，连接，，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 5．（1）特殊发现： 如图1，正方形与正方形的顶B重合，、分别在、边上，连接，则有： ①______； ②直线与直线所夹的锐角等于______度； （2）理解运用 将图1中的正方形绕点B逆时针旋转，连接、， ①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过边的中点O，，直接写出的长等于______； （3）拓展延伸 如图4，点P是正方形的边上一动点（不与A、B重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．    6．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：      【观察与猜想】 (1)如图，在正方形中，，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为___________； (2)如图，在矩形中，，，是上的一点，连接，，若，则的值为___________； 【类比探究】 (3)如图，在四边形中，，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：； 【拓展延伸】 (4)如图4，在中，，，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接．若，则的最小值为___________． 7．如图1，在菱形中，对角线，相交于点，，，点为线段上的动点（不与点，重合），连接并延长交边于点，交的延长线于点．    (1)当点恰好为的中点时，求证：； (2)求线段的长； (3)当为直角三角形时，求的值； (4)如图2，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，在点的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 8．在平行四边形中，连接，若，点为边上一点，连接，交于点． (1)如图1，若点为中点，对角线与相交于点，且的面积为，，求的长； (2)如图2，若点在上，且，连接，过作于点，连接并延长交于点，若，用等式表示线段、、的数量关系，并证明； (3)如图3，若，，点在边上，，且平分，线段（点在点的左侧）在线段上运动，且，连接，，请直接写出的最小值． 题型3：相似三角形在平面直角坐标系中的应用 9．如图：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称．    (1)求直线的解析式； (2)