24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（二）（讲+练，11题型）-【题型分类归纳】2022-2023学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.2点和圆、直线和圆的位置关系（二） 一、直线和圆的位置关系 1、相交、相切、相离的概念 相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线； 相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点； 相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。 2、直线和圆的位置关系符号表示 直线和相交⇔； 直线和相切⇔； 直线和相离⇔. 图4 2、切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可。 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 （3）以上三个定理及推论也称二推一定理： 即①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中道其中两个条件就能推出最后一个。 注：在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径。 3、切线长定理 （1）切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长； （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 4、三角形的内切圆和内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 二、圆和圆的位置关系 1、相离、相切、相交的概念 相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如图5中（1）(5)(6)所示。其中 （1）叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆的圆心相同是两圆内含的一种特殊情况； 相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图1中（2）(4)所示。其中（2）叫 做外切，(4)叫做内切； 相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图1中（3）所示。 图5 2、圆和圆的位置关系符号表示 如果两圆的半径分别为和 (<)，圆心距为: 外离⇔>+ 外切⇔=+ 相交⇔<<+ 内切⇔ 内含⇔ 题型一 判断直线和圆的位置关系 【例1】已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】如果一个圆的直径是，圆心到一条直线的距离也是，那么这条直线和这个圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式1-2】已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是 ． 【变式1-3】在，，，，以A为圆心，长度为半径的圆与直线的公共点的个数为 个． 【变式1-4】的半径为4，圆心O到直线l的距离是方程的一个根，则直线l与的位置关系是__________． 题型二 已知直线和圆的位置关系求解 【例2】在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知和直线相交，圆心到直线的距离为，则的直径可能为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】的半径为，点到直线的距离为，是关于的方程的两个根，当直线和相切时，的值为 ． 【变式2-3】直线l与相离，且的半径等于3，圆心O到直线l的距离为d，则d的取值范围是 ． 【变式2-4】以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴恰好有三个公共点，则的值为 ． 题型三 求圆与直线相切时的运动距离 【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【变式3-1】如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．    【变式3-3】如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【变式3-4】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 题型四 切线的认识与应用 【例4】下列直线中可以判定为圆的切线的是（　　） A．与圆有公共点的直线 B．经过半径外端的直线 C．垂直于圆的半径的直线