24.1 圆的有关性质（讲+练，12题型）-【题型分类归纳】2022-2023学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.1 圆的有关性质 一、圆的概念 1、圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”。 注：①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上； ②圆心为O、半径为的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 2、圆的两要素：圆心（定点）、半径（定长）。 注：①同心圆：圆心重合、半径不同的圆是同心圆； ②等圆：半径相等的圆是等圆。 二、圆的相关概念 1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2、直径：经过圆心的弦叫做直径。 3、圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A,B为端点的弧记作AB,读作“圆 弧AB”或“弧AB”。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。4、等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等。 5、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 三、垂直于弦的直径 1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 四、弧、弦、圆心角 1、圆心角的概念：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弧、弦、圆心角之间的关系： （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对应的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 五、圆周角 1、圆周角的概念：把顶点在圆周，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角； 2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 3、圆周角定理的推论： （1）同弧或等弧所对的圆周角相等。 （2）半圆所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 六、圆内接多边形 1、圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边 形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。 题型一 圆的相关概念的理解 【例1】到O点距离为2的点的集合是 ． 【变式1-1】下列命题：①长度相等的弧是等弧；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④半圆是弧．其中真命题共有（    ）      A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（    ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过点 【变式1-3】若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-4】在同一平面内，点P到圆上的点的最大距离为6，最小距离为4，则此圆的半径为（    ） A．2 B．5 C．1 D．5或1 题型二 求圆中弦的条数 【例2】如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【变式2-1】如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式2-2】如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 条弦，它们分别是 ． 【变式2-3】如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有 条． 【变式2-4】如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 题型三 圆的周长和面积问题 【例3】由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 【变式3-1】如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（    ）    A． B． C． D．不能确定 【变式3-2】小丽用圆规画了一个半径为的圆，小杰用的线围成一个圆．下列说法正确的是（     ） A．两个圆一样大 B．小杰围的圆大 C．小丽画的圆大 D．无法确定两个圆的大小 【变式3-3】圆的面积扩大为原来的 4 倍，则半径 （      ） A．扩大为 4 倍 B．扩大为 倍 C．不变 D．扩大为2倍 【变式3-4】如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个