24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（一）（讲+练，9题型）-【题型分类归纳】2022-2023学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.2点和圆、直线和圆的位置关系（一） 1、点和圆的位置关系符号表示 设的半径为，点到圆心的距离，则有： 点在圆外⇔； 点在圆上⇔； 点在圆内⇔。 注：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 2、经过已知点作圆 （1）经过一个点A作圆：以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个（图1）； （2）经过两点A、B作圆：由于所作圆的圆心到A、B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆可以作出无数个（图2）； （3）经过不在同一条直线上的三点作圆：所求的圆要经过A,B,C三点，所以圆心到这三点的距离要相等。因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上。作圆步骤： ①分别作出线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线，设它们的交点为O，则OA=OB=OC； ②以点O为圆心，OA(或OB、OC)为半径，作出经过A、B、C三点的圆。因为过A,B,C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，这样的圆只有一个（图3），即 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 3、三角形的外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。 4、反证法：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。 题型一 判断点与圆的位置关系 【例1】已知的半径为，A为线段的中点，当时，点A与的位置关系是（    ） A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定 【变式1-1】在平面直角坐标系中，将平行四边形的顶点置于坐标原点，点坐标为，点坐标为，以为直径画圆，则顶点与这个圆的位置关系是(　　) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【变式1-2】在平面直角坐标系中，是以点为圆心，为半径的圆．则下列说法正确的是（    ） A．原点在外 B．原点在内 C．原点在上 D．无法确定 【变式1-3】在平面直角坐标系中，作以原点为圆心，半径为的，则点与圆的位置关系是：在圆 ． 【变式1-4】已知的半径，点到圆的最近距离为，则点到圆的最远距离为 ；若点到的最近距离为，则点与圆的位置关系是 （填“在圆外、在圆上或在圆内”）． 题型二 利用点与圆的位置关系求解 【例2】已知点P在半径为的圆内，则点P到圆心的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则的半径可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】若所在平面内一点到上的点的最远距离为5，最近距离为3，则此圆的半径为 ． 【变式2-3】已知的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点在内，点在外，则r的取值范围是 ． 【变式2-4】已知点 到 上所有点的距离中，最大距离为 厘米，最小距离为 厘米，那么 的半径长等于 厘米． 题型三 三角形外接圆的认识 【例3】三角形的外接圆： 经过三角形的 的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的 ，三角形的外心到三角形 的距离相等． 【变式3-1】已知，作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式3-2】如图，是的外接圆，则点O是的（    ） A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点 【变式3-3】如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 【变式3-4】如图，是的内接三角形，若，则（  ） A． B． C． D． 题型四 求三角形外心坐标 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（    ） A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2） 【变式4-1】如图，，，，，则外心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，的顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标是 ．    【变式4-3】中，、、，则外接圆圆心坐标为 ． 【变式4-4】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为 ． 题型五 求三角形