特训04 圆锥曲线压轴题（六大题型归纳）-2023-2024学年高二数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019选择性必修第一册，江苏专用）

特训04 圆锥曲线压轴题（题型归纳） 目录： 题型1-2：弦长、中点弦问题 题型3-4：面积、取值范围问题 题型5-6：定点、定值问题 题型1-2：弦长、中点弦问题 1．已知椭圆的C的方程：． (1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值． (2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程． (3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值． 2．已知抛物线：（），直线交于A、B两点. (1)若当时，，求p的值； (2)如图，（i）若，求面积的最小值. （ii）抛物线在A、B两点处的切线分别与y轴交于C、D，AC和BD交于G，.证明：存在实数，使得. 3．已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为、，以点为圆心，为半径作圆，与轴交于点． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，点、为椭圆上异于点且关于原点对称的两点，直线、与轴分别交于点、，记以为直径的圆为⊙，试判断是否存在直线截⊙的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由． 4．已知双曲线过点，且的渐近线方程为． (1)求的方程； (2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧． ①求四边形面积的取值范围； ②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 5．已知椭圆，分别为左右焦点，O为坐标原点，过O作直线交椭圆于C，D两点，若周长的最小值为6，面积的最大值为. (1)求椭圆E的方程； (2)设直线交椭圆E于A，B两点， ①若直线的斜率为且的面积为，求直线方程； ②若直线与x轴交于M点，当点A在x轴的上方时，有，且直线与圆相切于点N，求的长. 题型3-4：面积、取值范围问题 6．已知椭圆过点． (1)求椭圆C的方程； (2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M，连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E，连接动点M与椭圆的上顶点B，与x的正半轴交于点F，记四边形的面积为，的面积为，，求的取值范围． 7．在上任取一点，记，当P在圆C上运动时，点Q的轨迹记为． (1)写出的标准方程，并说明的离心率是定值（与无关）； (2)当时，分别记为，若直线与交于4个点，在直线l上从上到下顺次记为A，B，C，D． ①与是否相等？证明你的结论； ②已知，求面积的最大值． 8．对于曲线所在的平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线的“点视角”，并称其中最小的“点视角”为曲线相对于点的”点确视角”.已知曲线和圆是轴上一点 （1）对于坐标原点，写出曲线的“点确视角”的大小； （2）若在曲线上，求的最小值； （3）若曲线和圆的“点确视角”相等，求点坐标. 9．双曲线，圆在第一象限交点为，曲线. （1）若，求b； （2）若，与x轴交点记为，P是曲线上一点且在第一象限，并满足，求∠； （3）过点且斜率为的直线交曲线于M、N两点，用b的代数式表示，并求出的取值范围. 10．已知椭圆的短轴长为2，离心率， （1）求椭圆方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点，与圆相切于点， ①证明：（其中为坐标原点）； ②设，求实数的取值范围.. 题型5-6：定点、定值问题 11．已知椭圆C：的右焦点为F，过点F作一条直线交C于R，S两点，线段RS长度的最小值为，C的离心率为． (1)求C的标准方程； (2)斜率不为0的直线l与C相交于A，B两点，，且总存在实数，使得，问：l是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 12．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 13．如图，F是抛物线的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q． (1)当k取不同数值时，求直线l与抛物线公共点的个数； (2)若直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：是定值． (3)在x轴上是否存在这样的定点M，对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点，均能使得为定值，若有，找出满足条件的点M;若没有，请说明理由． 14．已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率为．设过右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，其中点位于第一象限内． (1)求双曲线的方程； (2)若直线分别与直线交于两点，证明为定值； (3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 15．已知抛物线的焦点为，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率. （Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方