特训01 圆锥曲线压轴题（七大题型归纳）-2023-2024学年高二数学《重难点题型•高分突破》（人教A版2019选择性必修第一册）

特训01 圆锥曲线压轴题（七大题型归纳） 题型1：弦长问题 题型2：中点弦问题 题型3：取值范围问题 题型4：面积问题 题型5：定点问题 题型6：定值问题 题型7：向量共线问题 题型1：弦长问题 1．已知双曲线为双曲线的右焦点，过作直线交双曲线于两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点，直线交双曲线于两点. (1)若直线的斜率为，求的值； (2)设直线的斜率分别为，且，记，试探究与满足的方程关系，并将用表示出来. 2．如图，，，，是抛物线：上的四个点（，在轴上方，，在轴下方），已知直线与的斜率分别为和2，且直线与相交于点． (1)若点的横坐标为6，则当的面积取得最大值时，求点的坐标． (2)试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2． (1)求椭圆C的方程； (2)动直线交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为，且．T是线段OD延长线上一点，且，的半径为，OP，OQ是的两条切线，切点分别为P，Q，求的最大值． 题型2：中点弦问题 4．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与轴垂直的直线交于、两点，交于、两点，且. (1)求的离心率； (2)设是与的公共点，若，求与的标准方程； (3)直线与交于、，与交于、，且在直线上按、、、顺序排列，若，求. 5．1.已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1 (1)求椭圆的方程； (2)直线交椭圆于A，B两点，且AB被直线平分. ①若的面积等于1（O是坐标原点），求l的方程； ②椭圆的左右焦点分别是，，，的重心分别是，，当原点O落在以CD为直径的圆外部时，求面积的取值范围. 6．椭圆的焦点、是双曲线的顶点，其顶点是双曲线的焦点.双曲线的渐近线是，椭圆与双曲线有一个交点，的周长为. (1)求椭圆与双曲线的标准方程； (2)设直线交双曲线于、两点，交直线于点，若.证明：为的中点； (3)过点作一动直线交椭圆于A、两点，记.若在线段上取一点，使得，求点的轨迹方程. 题型3：取值范围问题 7．已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线垂直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)点，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为，，.若，求△PQE周长的取值范围. 8．已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点. (1)若点M的坐标为，求的面积； (2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值； (3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程. 9．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，－1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N. (1)求直线AB的斜率； (2)若直线AB与双曲线的左，右两支分别交于Q，R，求的取值范围. 题型4：面积问题 10．椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值； (3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 11．已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点为、，过作不与轴重合的直线交椭圆于、两点，的周长为8.    (1)求椭圆的方程； (2)设线段的垂直平分线交轴于点，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (3)以为圆心4为半径作圆，过作直线交圆于、两点，求四边形的面积的最小值及取得最小值时直线的方程. 12．已知O为坐标原点，抛物线的方程为，F是抛物线的焦点，椭圆的方程为，过F的直线l与抛物线交于M，N两点，反向延长，分别与椭圆交于P，Q两点．    (1)求的值； (2)若恒成立，求椭圆的方程； (3)在（2）的条件下，若的最小值为1，求抛物线的方程（其中，分别是和的面积）． 题型5：定点问题 13．已知，是双曲线C：的左、右焦点，若点为C上的一点，且，的面积为，双曲线的离心率为. (1)求曲线C的方程； (2)过曲线C左焦点的两条相互垂直的直线分别交双曲线C于和，分别是的中点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 14．已知抛物线的焦点为，准线为． (1)若为双曲线的一个焦点，求双曲线的方程； (2)设与轴的交点为，点在第一象限，且在上，若，求直线的方程； (3)经过点且斜率为的直线与相交于、两点，为坐标原点，直线、分别与