4.1 指数（6大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

4.1 指数 一、n次方根的定义 1、定义：一般地，如果（，且），那么x叫做a的n次方根. 2、个数： （1）当n是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数， 这时的次方根只有一个，记为； （2）当n是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数， 这时，正数的正的次方根用符号，负的次方根用符号表示， 它们可以合并写成 【注意】0的次方根等于0. 二、根式 1、定义：式子叫做根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数． 2、性质：（，且） a； 三、分数指数幂的意义 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘， 它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 四、有理数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 五、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 六、指数幂运算的四个原则： （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答 （化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域） 七、条件求值问题的解题思路： 1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； 2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； 3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。 题型一 根式的概念理解 【例1】（2023·江苏·高一专题练习）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则的取值范围是（ ） A．， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】（2023·江苏·高一专题练习）（多选）若，则下列四个式子中有意义的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2021·全国·高一专题练习）写出使下列各式成立的x的取值范围： （1） ＝；   （2）＝(5－x). 题型二 根式的简单运算 【例2】（2023·全国·高一专题练习）（ ） A． B． C． D．当为奇数时，；当为偶数时， 【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·江苏·高一专题练习） 【变式2-3】（2023·江苏·高一专题练习）已知，化简 ． 【变式2-4】（2022秋·高一单元测试）求下列各式的值： （1）； （2）. 题型三 分数指数幂与根式互化 【例3】（2022秋·北京·高一校考期中）将化成分数指数幂的形式是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·江苏·高一专题练习）将化成有理数指数幂的形式为 . 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： （1）； （2）； （3）． 【变式3-3】（2022·高一课时练习）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A． B． C． D． 题型四 利用指数幂运算性质化简 【例4】（2023秋·江苏徐州·高一统考阶段练习）已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023秋·天津河西·高三学校考期末）化简的结果为（ ） A． B． C．