24.1.1&24.1.2圆及垂径定理（讲+练，10题型）-【重要笔记】2023-2024学年九年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

24.1.1&24.1.2 圆及垂径定理 圆的定义 (1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． (2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 注意： 　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　②圆是一条封闭曲线. 题型1：圆的概念 1.到圆心的距离不大于半径的点的集合是（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆 D．圆的内部和圆 【变式1-1】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．以点O为圆心 B．以10m长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M 与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 3.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 4.等弧 　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 题型2：与圆有关的概念 2.判断题(对的打√，错的打×，并说明理由) 　　①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ ） 　　②弦是直径；（ ） 　　③长度相等的两段弧是等弧；（ ） 　　④直径是圆中最长的弦. （ ） 【变式2-1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】下列说法： ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆． 正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3：确定圆心和圆 3.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心； 【变式3-1】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上． 圆的性质 　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心； 　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴. 题型4：圆的对称性 4.已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD． 【变式4-1】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC． 【变式4-2】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D． （1）求证AC＝BD； （2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是　　． 垂径定理及推论 1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　常见辅助线做法： 1） 过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 题型5：垂径定理与计算 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长． 【变式5-1】如图， 是 的弦， 为 的中点， 的延长线与 交于点 ，若 ， ，求 的半径． 【变式5-2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长． 题型6：垂径定理与证明 6.如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD. 【变式6-1】如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON＝AB，证明：OM＝CD． 【变式6-2】如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证： 题型7：垂径定理分类讨论问题 7.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（　　）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【变式7-1】已