专题11 圆的最值问题（隐圆模型）-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学上册压轴题攻略（人教版）

专题11 圆的最值问题（隐圆模型） 【知识点梳理】隐圆模型汇总 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 例．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(   ) A．1 B． C． D．2 【变式训练1】．如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ． 【变式训练2】．如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ． 【变式训练4】．如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为 ． 课后训练 1．如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 ． 2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，，点E为AB中点，点F为AD边上从A到D运动的一个动点，联结EF，将沿EF折叠，点A落在点G处，在运动的过程中，点G运动的路径长为（       ） A． B． C． D．1 3．如图，在中，，，，是以点为圆心，3为半径的圆上一点，连接，是的中点，则线段长度的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值 ． 5．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是 6．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 圆的最值问题（隐圆模型） 【知识点梳理】隐圆模型汇总 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P四点共圆 若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 固定线段AB所对动角∠C恒为90°，则A、B、C三点共圆，AB为直径 例．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2 ，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为(   ) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】连接BD，证明△EDB≌△FCD，可得∠BPD＝120°，由于BD的长确定，则点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上，当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值． 【详解】解：连接AD，因为∠ACB＝30°，所以∠BCD＝60°， 因为CB＝CD，所以△CBD是等边三角形， 所以BD＝DC 因为DE＝CF，∠EDB＝∠FCD＝60°， 所以△EDB≌△FCD，所以∠EBD＝∠FDC， 因为∠FDC＋∠BDF＝60°， 所以∠EBD＋∠BDF＝60°，所以∠BPD＝120°， 所以点P在以A为圆心，AD为半径的弧BD上， 直角△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝2，所以AB＝2，AC＝4， 所以AP＝2 当点A，P，C在一条直线上时，CP有最小值， CP的最小值是AC－AP＝4－2＝2 故选D． 【点睛】求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值． 【变式训练1】．如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可． 【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C在以E为圆心，为半径的圆上， 在中