热点专题01 三角形（12个热点）-2023-2024学年八年级数学上册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

热点专题01三角形（12个热点） 考点一、三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：，如图：其中：线段是三角形的边，是三角形的顶点，是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 考点二、三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 考点三、三角形的三边关系及稳定性 （1）三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 三边关系的运用：①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 （2）稳定性：①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 考点四、三角形的重要线段 三角形的重要线段 概念 图形 几何语言表示 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 是的上高线， 三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段 是的上的中线. ∴， 三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 是的的平分线， 考点五、三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法 剪角拼角法 ③直角三角形： 直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“”表示，如。 有两个角互余的三角形是直角三角形 考点六、三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，是的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。 考点七、多边形 多边形：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 多边形公式： （1）边形的内角和公式：；（2）边形一个顶点的对角线数： （3）边形的对角线总数：；（4）边形的外角和： 正多边形： （1）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （2）正多边形的每个内角；（3）正多边形每个外角的度数： 题型一 三角形的三边关系 【例1】下列各组给出的三条线段不能围成三角形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【例2】如图，点P是内任意一点．求证：．    【变式1-1】在中，，，那么中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知a、b、c是三角形的三边长． (1)化简； (2)，，，求这个三角形的三边长． 【变式1-3】已知a、b、c是的三边长，，设三角形的周长是． (1)直接写出c与x的取值范围； (2)若x是小于18的偶数，求c的长． 题型二 利用三角形中线求长度 【例3】如图，的三边长均为整数，且周长为24，是边上的中线，的周长比的周长大3，则长的可能值有（    ）个．    A．7 B．5 C．6 D．4 【例4】如图，在中，，，    (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为，求的周长． 【变式2-1】如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 【变式2-2】如图，在中，为边上的中线，的周长比的周长大4．若，则 ．    【变式2-3】嘉淇同学秋游时，发现一位农民伯伯正在浇地，这块地的外形如图所示的，其中边在一条水渠上，这位农民伯伯想在地中再新开一条水渠，把水引到顶点A处，且水渠把地块平分成面积相等的两部分．    (1)这条水渠是的______（填“中线”、“角平分线”或“高”）． (2)请在图中画出水渠的位置，并说明水渠把三角形地块平分成面积相等的两部分的理由． 题型三 利用三角形中线求面积 【例5】如图，在中，是中线，点是边上的一点，，与相交于点，若，则的面积是（　　）    A．3 B． C．4 D． 【例6】如图所示，的中线，相交于点，，垂足为，且，，，，则四边形的面积是 ．    【变式3-1】如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且，则 ．    【变式3-2】如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则 ．    【变式3-3】如图，中，，分别是，的中点，的面积是，则阴影部分的面积是 ．    题型四 利用三角形高或角平分线求角 【例7】如图，在中，，是边上的高，，则 ．    【例8】如图