专题3-1：利用基本不等式求最值（6大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

利用基本不等式求最值 一、基本不等式常用的结论 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 推论：（） 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）； 3、 二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 题型一 直接法求最值 【例1】（2023秋·新疆昌吉·高一校考期末）已知，且，则的最大值为（ ） A． B．25 C．36 D．49 【变式1-1】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）若，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）若满足，则的最大值是 . 【变式1-3】（2022秋·福建三明·高一校考阶段练习）若，则的最大值为（ ） A．9 B．16 C．49 D．64 【变式1-4】（2022秋·吉林长春·高一校考期中）已知，则的最大值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式1-5】（2022秋·重庆·高一校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（ ） A．16 B．12 C．8 D．4 题型二 配凑法求最值 【例2】（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）若，则的最小值是（ ） A． B．1 C． D． 【变式2-1】（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）若，则的最大值是 【变式2-2】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）已知，，且，则xy的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【变式2-3】（2023·海南·高三模拟预测）设，则函数，的最小值为（ ） A．7 B．8 C．14 D．15 题型三 消元法求最值 【例3】（2023秋·辽宁·高一校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·浙江·高一校考阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值是（ ） A．33 B．26 C．25 D．21 【变式3-2】（2023秋·四川泸州·高一校考阶段练习）若正数满足，则的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D． 【变式3-3】（2023秋·山东枣庄·高一校考期末）负实数，满足，则的最小值为（ ） A．1 B．0 C． D． 【变式3-4】（2023·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是 . 题型四 乘“1”法求最值 【例4】（2023春·广东汕头·高一校考期中）已知正实数满足，则的最小值为 . 【变式4-1】（2023秋·江苏·高三10月联考）若满足，则的最小值为（ ） A． B． C．12 D．16 【变式4-2】（2023秋·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）若，，且满足，则的最小值是（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式4-3】（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）已知正