3.2基本不等式同步练习检测卷-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

3.2基本不等式同步练习检测卷-高一数学上学期苏教版（2019）必修第一册 一、单选题 1．若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 2．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 3．若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 8．如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．以下说法正确的有（    ） A．实数是成立的充要条件 B．对恒成立 C．命题“，使得”的否定是“，使得” D．若，则的最小值是8 11．已知a，b为正实数，且，则（    ） A．ab的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为2 三、填空题 12．设实数，的最小值为，则 . 13．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ． 14．如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，当 时，矩形花坛的面积最小． 四、解答题 15．已知，，且，求证：． 16．已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 17．（1）已知为正数，且满足.证明：. （2）若，，其中，试比较的大小. 18．若实数满足，则称比远离. (1)若2比远离1，求x的取值范围； (2)设，其中，判断：与哪一个更远离？并说明理由. (3)若，试问：与哪一个更远离？并说明理由. 19．如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用基本不等式及已知条件得到，从而得到，即可判断. 【详解】∵、均为正数，且，∴． 又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D． 故选：C． 2．C 【分析】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项. 【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克）， （当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克. 故选：C 3．A 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 4．B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 5．C 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 6．C 【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案. 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：C． 7．D 【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 8．D 【分析】根据条件和几何图形，用表示出，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 故选：D. 9．BCD 【分析】利用基本不等式判断各选项． 【详解】对于A选项，， 当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B选项，，故， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C选项，， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D选项， ， 当且仅当时取得等号成立，故D正确． 故选：BCD. 10．BC 【分析】举出反例可得A、D，比较大小可得B，根据否定的定义可得C. 【详解】对A：，当，时符合要求，但此时，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：命题“，使得”的否定是“，使得”， 故C正确； 对D：，若、符合要求，但此时， 故D错误. 故选：BC. 11．BD 【分析】根据基本不等式及“1”代换即可判断各选项. 【详解】对于A，， 因为（当且仅当时取“=”）， 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B，由，得（当且仅当时取“=”），B正确； 对于C，（当且仅当时，取“=”），C错误； 对于D，（当且仅当时，取“=”），D正确． 故选：BD． 12． 【分析】根据基本不等式求得其最小值，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由于，根据基本不等式 ， 当且仅当时，可取到最小值， 即，解得. 故答案为： 13．12 【分析】算得，直接由基本不等式即可求解. 【详解】依题意， 所以 当且仅当，时等号成立． 故答案为：12． 14．4 【分析】设，由∥，列比例式可求得，从而可表示出的面积，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可求得答案. 【详解】设，因为∥， 所以，所以，解得, 所以矩形的面积为 ， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，矩形花坛的面积最小． 故答案为：4 15．证明见解析 【分析】将展开，利用完全平方公式及基本不等式进行计算证明． 【详解】证明：，故 ， 即不等式成立. 16．(1) (2)18 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 17．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用将所证不等式可变为，再利用基本不等式即可得证； （2）利用完全平方公式，结合不等式的性质即可得解. 【详解】（1）  ，  ， ， ， 当且仅当时，等号成产， ，即. （2）因为， ， 又，则， 所以，则， 所以，即. 18．(1)； (2)比更远离，理由见解析 (3)比更远离，理由见解析 【分析】（1）由题意得，解不等式可求得结果； （2）若比更远离，则成立，利用分析证明即可； （3），可得，然后分类判断与的大小关系即可. 【详解】（1）根据题意可得：， 所以，解得； （2）比更远离, 理由如下：要证比更远离,只要证， 即证， 因为，所以， 所以只要证，即证， 因为，所以， 所以， 所以比更远离； （3）因为，当且仅当时等号成立， 所以，从而， ①， ， 即；   ②时，， ， 即， 综上：，即比更远离. 【点睛】关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式和基本不等式的应用，解题的关键是对比远离的正确理解，考查转化思想和分类讨论的思想，属于较难题. 19．(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$