3.3幂函数教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3幂函数教学设计 1、 教学目标 1.通过对五个具体幂函数的探究抽象出幂函数概念，进一步概括出幂函数的模型 2.根据五个具体幂函数性质的探究总结出幂函数的性质，培养学生从特殊到一般，再从一般到特殊的研究方法 2、 教学重难点 教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质 教学难点：将函数图象的感性认识上升到理性认识，归纳概括出函数的性质 3、 教学过程 在本章的前两节，我们已经学习了函数的概念，通过函数图象研究了函数的单调性和奇偶性，今天我们将利用所学知识，研究一类新的函数——幂函数 活动一：创设情境，引入新课 高一年级运动会即将到来，在此期间有如下问题： (1)如果某同学参加引体向上比赛，每秒钟可以做一个标准的引体向上，那么他做的引体向上数量P(个)是关于时间ω(秒)的函数吗？函数解析式为 . (2)如果跳远场地为正方形，边长为a，那么场地占地面积S是关于边长a的函数吗？函数解析式为 . (3)如果新建的医务室为正方体，棱长为b，那么医务室的体积V是关于棱长b的函数吗？函数解析式为 . (4)如果游泳馆正方形场地的面积为S，那么该场地的边长c是关于面积S的函数吗？函数解析式为 . (5)如果1km田径比赛中某同学用时ts，那么他的平均速度v(km/s)是关于时间t(s)的函数吗？函数解析式为 . 【师生活动】 函数解析式：P=ω，S=a2，V=a3，c= (即c=)，v=(即v=t-1) 问题1 观察上述函数解析式，它们在形式上有什么共同特征? 如果将上述函数解析式左侧的因变量改成y，右侧的自变量改成x， 函数解析式：y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x−1 共同特征：（1）具有幂的形式且系数为1； （2） 幂的底数是自变量； （3）幂的指数是常数，分别是1,2,3，，-1. 师：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 练习1 判断下列函数是否为幂函数 （1）y=（2）y=4x（3）y=2x2（4）y=x2+1 练习2 若幂函数过点(2，），求此幂函数的解析式 解:设幂函数的解析式为y=xα(α∈R)，将(2，）代入解析式，解得α=），因此所求幂函数的解析式为y=. 【设计意图】从特殊到一般，将实际问题转化为数学问题，同时，统一自变量与因变量之后，让学生更能直观地感知幂函数解析式的共同特征，进一步了解幂函数的概念，并掌握待定系数法求幂函数解析式. 活动二：探究幂函数的图象与性质 问题2 认识幂函数的概念后，能否尝试举出几个幂函数的例子？并画出它们的图象 【师生活动】 师：作图方法：五点作图法;借助性质 师：本章只研究五个具有代表意义的幂函数，请在平面直角坐标系中作出下列函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x-1的图象 y=x3，y=图象可采用列表-描点-连线作图，注意描点时自变量的取值，先求定义域，利用奇偶性、单调性 师：观察这些幂函数图象，填写下列表格 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0，+∞) {x|x≠0} 值域 R [0，+∞) R [0，+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 R上增 (-∞，0)减 (0，+∞)增 R上增 [0，+∞)增 (-∞，0)，(0，+∞)减 【设计意图】：由形到数，发现 5个具体幂函数的性质，为探寻幂函数的共性做好铺垫 师：我们以这五个特殊幂函数为代表，尝试从中发现并归纳一些共性，认识一般幂函数的性质 【师生活动】 生：图象都经过第一象限，且过定点(1，1) 师：幂函数具有相同形式，那它们的图象和性质取决于什么？α 生：在(0,1)上，α越小，函数值越大；在(1，+∞)上，α越大，函数值越大 师：再考虑奇偶性.观察图象和表格，y=x,y=x3,y=x-1都是奇函数，我们猜想“若α为奇数，则幂函数y=xα为奇函数吗?”（奇偶函数定义加以证明） 生：α为奇数，幂函数y=xα为奇函数；α为偶数，幂函数y=xα为偶函数 师：追问：反过来，若已知幂函数是奇函数，能否得到α为奇数呢？ （反过来不成立，举反例y=） 师：再考虑单调性，幂函数在区间 (0，+∞)上的单调性如何? 生：y=x,y=x2,y=x3,y=在(0，+∞)上单调递增； y=x-1在(0，+∞)上单调递减 生：观察图可知: α>0时，幂函数y=xα在(0，+∞)上是单调递增的; α<0时，幂函数y=xα在(0，+∞)上是单调递减的. 【设计意图】当5个函数图象表示在同一个坐标系中时，学生很容易观察出图象都过点(1,1).而α对幂函数单调性、奇偶性的影响是一个难点，通过表格中的结果归