专题10课题学习 最短路径问题（2个知识点2种题型）-【倍速学习法】2023-2024学年八年级数学上册核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

专题10课题学习 最短路径问题（2个知识点2种题型） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.最短路径问题（重点） 知识点2.“造桥选址”问题 【方法二】 实例探索法 题型1.解决最短路径的选址问题 题型2.求图形的最小周长问题 【方法三】 成果评定法 【学习目标】 1. 能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”探索最短路径问题。 2. 能运用“三角形两边之和大于第三边”说明关于最短路径的选址问题的道理。会运用图形的轴对称、平移等变换转化图形，进而利用数学模型解决实际问题。 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.最短路径问题（重点） 1.垂直线段最短问题 动点所在的直线已知型 方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。 【例1】如图，在锐角三角形中，，， 的平分线交于点D，点M、N分别是和上的动点，则的最小值为（     ） A． B． C．6 D．5 【变式】如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ） A． B． C． D． 2.将军饮马问题 方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值． ①两定一动 ②一定两动 ③两定两动 【例2】如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A．7 B．9 C．10 D．14 【变式】如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是 ． 知识点2.“造桥选址”问题 方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值． 【例3】如图，直线，表示一条河的两岸，且 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 【变式】如图，平行河岸两侧各有一城镇，，根据发展规划，要修建一条桥梁连接，两镇，已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（    ） A． B． C． D． 【方法二】实例探索法 题型1.解决最短路径的选址问题 1 .如图，直线是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（    ） A． B． C． D． 2 .如图，直线，表示一条河的两岸，且 ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（ ） A． B． C． D． 3.如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 题型2.求图形的最小周长问题 4.如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． （1）若，则的度数是 ； （2）连接，若，的周长是． ①求的长； ②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并直接写出的最小值；若不存在，说明理由． 5.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长． 6.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB． （1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是 度； （2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长度； ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值． 【方法三】 成果评定法 一．选择题（共9小题） 1．（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 2．（2022秋•澄迈县期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 3．（2022秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（　　） A．13 B．14 C．15 D．13.5 4．（2022秋•肇源县期