专题22 反比例函数的图象-2023-2024学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题22反比例函数的图象 【知识梳理】 知识点01反比例函数的图象和性质 1、 反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 【点石成金】 （1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； （2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 【点石成金】反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 知识点02反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 【点石成金】 只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【题型探究】 1.在函数（为常数）的图象上有三点()，()，()，且，则的大小关系是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D； 【解析】 解：因为，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，随的增大而增大．因为，所以．因为在第四象限，而，在第二象限，所以．所以． 【总结】已知反比例函数，当＞0，＞0时，随的增大而减小，需要强调的是＞0；当＞0，＜0时，随的增大而减小，需要强调的是＜0．这里不能说成当＞0，随的增大而减小．例如函数，当＝－1时，＝－2，当＝1时，＝2，自变量由－1到1，函数值由－2到2，增大了．所以，只能说：当＞0时，在第一象限内，随的增大而减小． 2.正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【点拨】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论． 【答案】B． 【解析】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2， ∴点A的横坐标为2． 观察函数图象，发现： 当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方， ∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2． 【总结】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集． 3.已知的图象是双曲线，且在第二、四象限， (1)求的值． (2)若点(－2，)、(－1，)、(1，)都在双曲线上，试比较、、的大小． 【答案】 解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且，∴ . (2)由(1)得此函数解析式为：． ∵ (－2，)、(－1，)在第二象限，－2＜－1，∴ ． 而(1，)在第四象限，． ∴ 4.如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点. (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围． 【点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的的取值范围