第1章 空间向量与立体几何单元测试能力卷-2023-2024学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

2023-2024学年高二数学上学期单元测试能力卷（人教A版2019） 第1章 空间向量与立体几何 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（    ）    A． B． C． D． 2．设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在正方体中，为线段上的动点，给出下列四个结论：①DP长度为定值；②三棱锥的体积为定值；③任意点P，都有；④存在点P，使得平面其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 4．在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为和的重心，P为线段CM上一点．（    ） A．的最小为2 B．若DP⊥平面ABC，则 C．若DP⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为 D．若F为线段EN的中点，且，则 6．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 7．已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（    ） A．平面平面 B．线段的最小值为 C．当，时，点D到直线的距离为 D．当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．如图，长方体中，，，，点M是侧面上的一个动点（含边界），P是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．当PM长度最小时，三棱锥的体积为 B．当PM长度最大时，三棱锥的体积为 C．若保持，则点M在侧面内运动路径的长度为 D．若M在平面内运动，且，则点M的轨迹为圆弧 10．下列说法不正确的是（    ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．若，，不共线，且，则，，、四点共面 C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得. D．中，若，则一定是钝角三角形. 11．如图，正方体的棱长为2，若点在线段上（不含端点）运动，则下列结论正确的为（    ） A．直线可能与平面相交 B．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 C．当时，与平面所成角最大 D．当的周长最小时，三棱锥的外接球表面积为 12．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．平面 C．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 D．异面直线与所成的角的余弦值为 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．如图所示，在平行六面体中，，若，则 . 14．在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且.若，则的值为 .    15．三棱锥中，平面，，，点在三棱锥外接球的球面上，且，则的最小值为 . 16．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①平面截正方体所得的截面图形是五边形； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④△面积的最小值是． 其中所有正确结论的序号是 ． 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图，在空间四边形中，，点E为的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 18．棱长为2的正方体中，E、F分别是、DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求； (3)求的长． 19．如图，在正四棱柱中，已知，，E，F分别为，上的点，且． (1)求证：平面ACF： (2)求点B到平面ACF的距离． 20．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点. (1)证明：若，直线平面； (2)求二面角的正弦值； (3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由. 21．如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角. (1)求证：； (2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角