第1章 空间向量与立体几何单元测试基础卷-2023-2024学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

2023-2024学年高二数学上学期单元测试基础卷 （人教A版2019） 第1章 空间向量与立体几何 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在三棱柱中，分别是，的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 3．设，，，且∥，则（    ） A． B． C．3 D．4 4．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则（    ）    A． B． C． D． 5．在三棱柱中，，，.点在棱上，且，为的中点，若以为基底，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为，，若是与的交点，则（    ）    A． B． C． D．3 7．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 11．已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 12．如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（    ） A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直 B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等 C．过点M有且仅有一条直线与，都相交 D．有且仅有一个点M满足平面平面 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为 ． 14．已知向量可作为空间的一组基底，若，且在基底下满足，则 ． 15．已知，，且与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 ． 16．如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为 . 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图，在平行六面体中，．求： (1)； (2)的长； (3)的长． 18．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长． 19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作. (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 20．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 21．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小. 22．图①是直角梯形，，，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否