难点冲刺01 二次函数的六种实际问题-2023-2024学年九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

难点冲刺01二次函数的六种实际问题 解二次函数的实际应用问题的一般步骤： 审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系（即函数关系）； 设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确； 列：列函数解析式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数； 解：按题目要求结合二次函数的性质解答相应的问题； 检：检验所得的解，是否符合实际，即是否为所提问题的答案； 答：写出答案. 题型一 拱桥问题 【例1】如图所示是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水位在l时，水面宽4m，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m．则当水面宽为3m时，水位上升了（    ）    A．0.675m B．0.875m C．0.975m D．1.125m 【例2】如图，一阵拱桥的跨度长为，拱桥顶部距离水面的高度为，现在以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)抛物线顶点的坐标是______，并求抛物线的表达式． (2)在（1）条件下，直接写出拱桥倒影所在抛物线的函数表达式______． (3)一艘游船宽6米，载客后水面以上高为3.2米，请问能否从桥下通过? 【变式1-1】如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m．若把拱桥的截面图放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 ．    【变式1-2】如图1为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系．    (1)求出该抛物线的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽1米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高3.5米的消防车辆？请通过计算说明； (3)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点A，D在抛物线上，点B，C在上，求出所需的三根“光带”，，的长度之和的最大值． 【变式1-3】一座拱桥的轮廓是抛物线（如图所示），拱高，跨度，相邻两支柱间的距离均为．求支柱的长度．    建立坐标系： 我们可以以点为原点建立平面直角坐标系，则三点的坐标分别为_________，_________，_________．根据图象可以设抛物线的解析式为_________，将两点中的任意一点的坐标代入解析式即可确定函数解析式，进而求出支柱的长度．你还有其他建立直角坐标系的方法吗？试一试，然后对比一下哪种更简单． 题型二 图形问题 【例3】用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为（　　）    A．8米 B．9米 C．10米 D．米 【例4】装潢公司要给边长为6米的正方形墙面进行装潢，设计图案如图所示（四周是四个全等的矩形，用材料甲进行装潢；中心区是正方形，用材料乙进行装潢），两种装潢材料的成本如下表： 材料 甲 乙 价格（元/米2） 50 40 设矩形的较短边的长为x米，装潢材料的总费用为y元． (1)的长为________米（用含x的代数式表示）； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当中心区的边长不小于2米时，求装潢材料的总费用的最大值及此时中心区的边长． 【变式2-1】如图，利用一个直角墙角修建一个的四边形储料场，其中．若新建墙与总长为，则该储料场的最大面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图②，以下简称水池2）.如果设水池的边AD加长长度DM为，加长后水池1的总面积为，设水池2的边的长为，水池2的面积为.    (1)直接写出，关于x的函数解析式. (2)当水池1与水池2的面积相等时，求此时x的值. (3)当时，设，求W的最大值和此时x的值. 【变式2-3】如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地，为美化环境，用总长为100米的篱笆围成三块面积相等的矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．当矩形的边为多长时，矩形区域的面积最大？其最大面积是多少？    题型三 销售利润问题 【例5】为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关