第24章 圆【十二大考点串讲+素养提升PPT】-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

人教版九年级上册 【十二大考点串讲+素养提升】 第24章 圆 思维导图 考点一、与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. · C O A B 经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 注意 知识大全 · C O A B 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 劣弧与优弧 · C O A B 半圆 3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”． ( 小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC ; ( 大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC. ( 知识大全 4.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等. 5.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.   知识大全 【例1】如图，AB是☉O的直径，点C、D在☉O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC.若∠AOC=70°，且AD∥OC,求∠AOD的度数. 解:∵AD//OC ∴∠AOC=∠DAO=70° 又∵OD=OA ∴∠ADO=∠DAO=70° ∴∠AOD=180-70°-70°=40° 知识大全 【变式】如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上，求证：OB=OC. 解:连结OA、OD. ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=CD 又∵OA=OD ∴Rt△AOB≌Rt△COD(HL) ∴OB=OC. 知识大全 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 考点二、垂径定理及其推论 知识大全 2.垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 知识大全 在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解. 3.涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： 4.弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 知识大全 10 【例2】工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 ___ mm. 8 【解析】设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm. 8mm A B C D O 知识大全 【变式】.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 . （ A O B C E F 图a 知识大全 12 1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB . 3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现三个量： 2.圆心角∠AOB所对的弧为AB. ⌒ 考点三、圆心角及相关概念 知识大全 13 圆心角 弦 弧 【例3】如图，AB，CD是⊙O的直径， ，若∠AOE=32°，则∠COE的度数是（　　） A．32° B．60° C．68° D．64° D 知识大全 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的、弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 考点四、圆心角、弧、弦之间的关系 知识大全 【例4】如图，在☉O中，已知∠AOB=90°，C,D将 三等分，弦AB与半径0C，OD分别交于点E，F.求证:AE=CD=BF. 证明:连接AC，BD ∵C，D将弧AB三等分， ∴AC=CD=BD ∵∠AOB=90°，且OA=OB ∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°∠OAB=∠OBA=45° ∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=45°+30°=75° ∵OA=OC, ∠AOC=30°， ∴∠ACO=×(180-30°)=75° ∴∠AEC=∠ACE，∴AE=AC 同理可得BF=BD，∴AE=CD=BF 知识大全 【变式】如图，AB、CD是⊙O的两条弦. (1)如果AB=CD，那么____________