精品解析：天津市第二南开学校2024届高三上学期10月阶段评估数学试题

第二南开学校高三年级数学学科10月阶段评估 第Ⅰ卷（选择题，共45分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A B. 18 C. D. 15 5. 已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 若方程在上有两个不相等的实数根，则实数 D. 将函数的图象向左平移个单位可得到一个偶函数 8. 已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 设，函数，若在区间内恰有个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共105分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 是虚数单位，复数的虚部为______. 11. 已知向量，向量，则向量在方向上投影向量为______． 12. 已知，，且，则_______． 13. 将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），再向左移动个单位得到函数的图象，若，且，则=___________. 14. 已知且，则最小值为___________. 15. 如图，在中，，D,E分别边AB,AC上的点,且，则______________，若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为_________________. 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并求函数的单调递减区间； （2）已知，，求． 17. 已知内角的对边分别为，且. （1）求的大小： （2）若， （i）求的面积； （ii）求. 18. 直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数在处的切线与直线：垂直． （1）求的单调区间； （2）若对任意实数，恒成立，求整数的最大值． 20. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，使得成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二南开学校高三年级数学学科10月阶段评估 第Ⅰ卷（选择题，共45分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合和的补集，再求与B交集可得答案. 【详解】集合， ， 所以， 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，考查了解指数不等式，属于基础题. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值来说明“”推不出，由不等式性质知能推出，据此可由充分条件、必要条件求解. 【详解】取，，则； 当时，不等式两边同乘以正数，可得. 因此，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出是偶函数，排除C、D，再由的正负排除B，从而得到答案. 【详解】因为 ， 所以函数是偶函数，排除C、D， 又当时，，排除B， 故选A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于简单题. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. 18 C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简，再根据平方关系及商数关系化弦为切即可得解. 【详解】 . 故选：A. 5. 已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，参变分离，构造函数，求出的最小值即可. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以，令，则，当时，所以在上单调递增，又因为，且，所以， 故选：D.