6.4 探索三角形相似的条件（第5课时）（课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第6章 · 图形的相似 6.4 探索三角形相似的条件（5） 第5课时 三角形的重心 1 学习目标 1.进一步掌握三角形相似的判定，并能应用其解决问题； 2.了解三角形重心的概念，并会解决一些简单的问题． 知识回顾 三角对应相等, 三边对应成比例 1. 两角分别相等 4. 三边成比例 2. 两边成比例且夹角相等 3. 两边成比例且其中一边的对角相等 三角形相似的条件 1. 如图，要证△ABC∽△ACD，已经具备了________，还需添加的条件是___________或_____________或___________; 知识回顾 D B A C (1) 2. 如图，已知，请补充一个条件：___________或__________，使△ABC∽ △ADE． E D A C B (2) ∠DAE=∠BAC ∠A=∠A ∠B=∠ACD ∠ACB=∠ADC 例题讲解 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E. (1)△ABE与△CDE相似吗？为什么？ 解：(1)△ABE与△CDE相似. ∵AB=AC， ∴＝. ∴∠AEB=∠AEC， 在△ABE与△CDE中，∵∠AEB=∠AEC，∠BAE=∠DCE， ∴△ABE∽△CDE. ● O E D A C B 例题讲解 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E. (2)图中还有哪几对相似三角形？把它们分别表示出来，并说明理由. 解：(2)相似三角形有：△AEC∽△BED，△ABD∽△AEB，△ABD∽△CED，△ACD∽△BED，△ACD∽△AEC. ● O E D A C B 新知巩固 1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是的中点，BD交AC于点E. (1)△CDE与△BDC相似吗？为什么？ 解：(1)△CDE∽△BDC.理由如下： ∵D是的中点 ∴=， ∴∠ACD=∠DBC. 又∵∠D=∠D， ∴△CDE∽△BDC. ● O E D A C B 新知巩固 1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，D是的中点，BD交AC于点E. (2)若DE·DB=16，求DC的长. 解：(2)由△CDE∽△BDC得DE:DC=DC:DB， 即DC 2=DE·DB. ∵DE·DB=16， ∴DC 2=16， ∴DC=4. ● O E D A C B 2. 如图，在△PAB中，点C、 D在AB上，PC=PD=CD，∠APB=120∘， (1)△APC与△PBD相似吗?为什么? 新知巩固 解：(1)∵PC=PD=CD， ∴△PCD为等边三角形， ∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60∘， ∴∠ACP=∠PDB=120∘， ∵∠APB=120∘， ∴∠BPD+∠APC=120∘−60∘=60∘， ∵∠PCD=∠A+∠APC=60∘， ∴∠A=∠BPD， 同理可得∠APC=∠B， ∴△APC∽△PBD. D C P B A 2. 如图，在△PAB中，点C、 D在AB上，PC=PD=CD，∠APB=120∘， (2)试说明：CD2=AC·BD. 新知巩固 解：(2)∵△APC∽△PBD， ∴， ∴PC·PD=AC·BD. ∵PC=PD=CD， ∴CD2=AC·BD. D C P B A 思考与探索 在七年级，我们通过观察、操作，发现三角形的三条中线相交于一点. C B A G E F D 你能运用相似形的有关知识证实这个结论吗？ 思考与探索 在七年级，我们通过观察、操作，发现三角形的三条中线相交于一点. C B A G E F D 你能运用相似形的有关知识证实这个结论吗？ 由△ABC的两条中线BE、CF交于点G, 可知FE∥BC，FE=BC， 所以△GBC∽△GEF， 于是GB:GE=BC:EF=2:1. 只要再证实点G在另一条中线上. 思考与探索 C B A G' E 在七年级，我们通过观察、操作，发现三角形的三条中线相交于一点. 你能运用相似形的有关知识证实这个结论吗？ D 如图，AD是△ABC的另一条中线， 设AD与BE相交于点G'，连接DE， 易得△G'DE∽△G'AB，G'E=G'B. ∴点G'与点G重合， ∴三角形的三条中线相交于一点. 新知归纳 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心． C B A G E F D 由以上证明过程可知： =______，=______， =______. 新知归纳 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍. C B A G E F D 符号语言： ∵ G是△ABC的重心， ∴ = = = ， GD：AG：AD= 1：2：3 新知巩固 1.判断: (2)三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一;