期末复习导与练 专题5 解直角三角形word-【全效学习】2023-2024学年九年级下册数学同步课件及教参（浙教版）

专题5　解直角三角形 [见学生用书《期末复习导与练》P17] 题型一　锐角三角函数的概念 【典例1】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos A的值为(　A　) A. B. C. D. 【变式1­1】 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为(　B　) A. B. C. D. 变式1­1图 变式1­1答图 【解析】 如答图，把AB向上平移一个单位到DE，连结CE. 易知DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC. 在△DCE中，EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5. ∵EC2＋DC2＝5＋20＝25＝DE2， ∴△DCE是直角三角形，且∠DCE＝90°， ∴cos∠APC＝cos∠EDC＝＝. 【变式1­2】 如图，电线杆CD的高为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长为(点A，D，B在同一条直线上)(　B　) 　变式1­2图 A. B. C. D. h·cos α 【解析】 根据同角的余角相等，得 ∠BCD＝∠CAD， ∴BC＝＝. 题型二　特殊角的三角函数值 【典例2】 计算： (1)tan 45°－sin 60°·cos 30°. 解：原式＝1－×＝1－＝. (2)sin230°＋sin 45°·tan 30°. 解：原式＝×＋×＝ . 【变式2】 计算： (1)2cos 30°－tan 45°－. 解：原式＝2×－1－(tan60°－1)＝－1－(－1)＝0. (2)cos 45°·tan 45°＋tan 30°－2cos 60°·sin 45°. 解：原式＝×1＋×－2××＝＋1－＝1. 题型三　解直角三角形 【典例3】 如图，在△ABC中，已知∠B＝60°，AB＝2，BC＝1＋，则∠C的度数为__45__°. 　典例3图 典例3答图 【解析】 如答图，过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△ABH中， BH＝AB·cos60°＝1， AH＝AB·sin60°＝. ∵BC＝1＋， ∴CH＝BC－BH＝1＋－1＝. 在Rt△ACH中， ∵tan C＝＝＝1， ∴∠C＝45°. 【点悟】 在一个三角形中，如果已知角度或者角的三角函数值，求线段的长度，通常可考虑用解直角三角形的知识求解．如果没有直角三角形，可通过作辅助线构造直角三角形． 【变式3】 如图，在△ABC中，cos B＝，sin C＝.若BC＝7，则△ABC的面积是(　A　) A. B. 12 C. 14 D. 21 　变式3图 变式3答图 【解析】 如答图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵cos B＝，∴∠B＝45°，∴BD＝AD. ∵sin C＝， ∴可设AD＝3x，则AC＝5x， ∴DC＝4x，BD＝3x. ∵BC＝7， ∴BD＋DC＝3x＋4x＝7x＝7， 解得x＝1，∴AD＝3， ∴S△ABC＝×3×7＝. 题型四　解直角三角形的应用 【典例4】 某古塔塔底低于地面约7 m，某校学生测得该古塔的整体高度约为40 m．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶点C的仰角为30°，再向古塔方向行进a(m)后到达B处，在B处测得塔顶点C的仰角为45°(如图)，则a的值约为__24.1__(精确到0.1 m；参考数据： ≈1.73)． 　典例4图 　典例4答图 【解析】 如答图，设地面水平线与古塔相交于点D，则CD＝40－7＝33(m)． 在Rt△BCD中， ∵∠CBD＝45°， ∴BD＝CD＝33 m， ∴AD＝AB＋BD＝(a＋33)m， 在Rt△ACD中， ∵tan∠CAD＝， ∴＝， 解得a＝33(－1)≈24.1(检验略)． 【变式4­1】 如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上．他沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为__20__m. 　变式4­1图 　 　变式4­1答图 【解析】 如答图，过点A作AD⊥BC于点D. 由题意，得∠ABC＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠BAC＝90°. 在Rt△ABD中， BD＝＝. 同理，在Rt△ACD中，CD＝. ∵BD＋CD＝BC＝80， ∴＋＝80， 解得AD＝20， 即点A到河岸BC的距离为20 m. 【变式4­2】 如图，在坡比i＝1∶2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小聪在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°，点A，B，C，D均在同一平面内．求： (1)D处的垂直高度． (2)基站塔的高AB. (精确到1米；参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，