8.2.1 几个函数模型的比较（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（苏教版2019）

51 / 326 8．2.1　几个函数模型的比较(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型． 2．了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义． 3. 能根据具体问题选择合适的函数模型． 几个函数模型的比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xα(α>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 随α值而不同 增长速度 ax的增长快于xα的增长，xα的增长快于logax的增长 增长结果 当x足够大时，有ax>xα>logax(a>1) 微点助解 当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，且a越大，y＝ax的函数值的增长就越快； 当a＞1时，对数函数y＝logax是增函数，且a越小，y＝logax的函数值的增长就越快； 当x＞0，n＞1时，幂函数y＝xn是增函数，且当x＞1时，n越大，y＝xn的函数值的增长就越快． [基点训练] 1．已知函数为y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(　 ) A．y减少1个单位　　　　 B．y增加1个单位 C．y减少2个单位 D．y增加2个单位 解析：选C　结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确． 2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　 ) A．y＝ex B．y＝ln x C．y＝x2 D．y＝e－x 解析：选A　结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确． 3．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示. 时间 1 2 3 4 利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　 ) A．y＝log2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x 解析：选B　逐个检验可得答案为B. 题型(一)　函数模型的增长差异 [典例]　在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到右面的散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　 ) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ [解析]　由散点图的定义域可排除C、D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型． [答案]　B [方法技巧] 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．　 [针对训练] 若三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表所示. x 1 3 5 7 9 11 y1 5 25 45 65 85 105 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.6 则关于x分别呈函数模型：y＝mlogax＋n，y＝pax＋q，y＝kxa＋t变化的变量依次是(　 ) A．y1，y2，y3 B．y3，y2，y1 C．y1，y3，y2 D．y3，y1，y2 解析：选B　由题表可知，y2随着x的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；y3随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数型函数的变化；y1相对于y2的变化要慢一些，是幂函数型的变化． 题型(二)　指数函数、对数函数、幂函数模型的比较 [典例]　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 021)，g(2 021)的大小． [解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10， ∴x1＜6＜x2,2 021>x2. 从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)， ∴f(6)＜g(6)． 当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 021)＞g(2 021)． 又g(2 021)＞g(6)，∴f(2 021)＞g(2 021)＞g(6)＞f(6)． [针对训练] 函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数在(0，＋∞)上的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点，对三个函数的大小进行比较)． 解：由指数函数、对数函数、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，