课时跟踪检测37 方程的根与函数的零点（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

5 / 5 课时跟踪检测（三十七）方程的根与函数的零点 A级——综合提能 1.函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　 ) A.2 B.－2 C.±2 D. 3 解析：选C　因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0.解得b＝±2. 2.(多选)下列图象表示的函数有两个零点的是(　 ) 解析：选CD　根据零点的定义，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标，选项A中与x轴没有交点，即函数没有零点；选项B中函数图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点；选项C、D中函数图象与x轴有两个交点，即函数有两个零点. 3.函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　 ) A.(1，＋∞) B. C. D. 解析：选B　由f(x)＝2x－，得f＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0.即ff(1)<0.所以零点所在区间为. 4.(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表： x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 98 则下列判断正确的是(　 ) A.函数f(x)在区间(－1,0)内有零点 B.函数f(x)在区间(2,3)内有零点 C.函数f(x)在区间(5,6)内有零点 D.函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点 解析：选ABC　已知f(－1)f(0)<0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间内均有零点，但不能断定有几个零点，故A、B、C正确，D不正确. 5.函数f(x)＝2－x＋log3|x|的零点的个数是(　 ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析：选A　由题意可令f(x)＝0，将函数化为x－2＝log3|x|.画出函数y＝x－2和y＝log3|x|的图象如图所示，由图象可知，函数图象有三个交点，所以有三个零点. 6.函数f(x)＝的零点是________. 解析：令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，解得x＝1.故函数f(x)的零点为1. 答案：1 7.已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________. 解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2,3， ∴即a＝5，b＝－6.∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－，－. 即为函数g(x)的零点. 答案：－，－ 8.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点. (1)f(x)＝－x2＋2x－1；(2)f(x)＝x4－x2； (3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1). 解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1. 所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1. (2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝1或x＝－1. 故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1. (3)令4x＋5＝0，则4x＝－5， 因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解. 所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点. (4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0. 所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0. 9.若函数f(x)＝x2－|x|＋a－1有四个零点，求实数a的取值范围. 解：如图，作出y＝x2－|x|＋a的图象， 若要使f(x)有四个零点，则需使y＝1与y＝x2－|x|＋a有四个交点，则需满足a－<1<a，解得1<a<.所以实数a的取值范围是. B级——应用创新 1.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　 ) A.至少有一实数根 B.至多有一实数根 C.没有实数根 D.必有唯一的实数根 解析：选D　由题意知函数f(x)为连续函数，∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点.又函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点，故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]上必有唯一的实数根. 2.(多选)设函数f(x)＝则(　 ) A.当a＝1时，f(x)的值域为(－∞，4] B.当f(x)的单调递增区间为(－∞，2]时，a≤1 C.当1≤a≤3时，函数g(x)＝f(x)－3有2个零点 D.当a＝3时，关于x的方程f(x)＝有2个实数解 解析：选AB　若a＝1，当x>1时，f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4；当x≤1时，f(x)＝2x＋1单调递增，故f(x)≤f(1)＝3