课时跟踪检测30 指数函数性质的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

5 / 5 课时跟踪检测（三十）指数函数性质的应用 A级——综合提能 1.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　 ) A.a<b<c　 B.a<c<b　 C.b<a<c　 D.b<c<a 解析：选C　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5<a＝0.60.6<1.又c＝1.50.6>1，所以b<a<c. 2.设a<b<1，则(　 ) A.a<b<1 B.1<a<b C.a>b>0 D.a<b<0 解析：选C　因为a<b<0，所以a>b>0. 3.若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　 ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2] 解析：选B　∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝，∴a＝或a＝－(舍去).∴f(x)＝|2x－4|.∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞). 4.已知函数f(x)＝2x－2－x，则函数f(x)(　 ) A.是奇函数，且在R上单调递增 B.是奇函数，且在R上单调递减 C.是偶函数，且在R上单调递增 D.是偶函数，且在R上单调递减 解析：选A　由题意，函数f(x)＝2x－2－x的定义域为R，关于原点对称.因为f(－x)＝2－x－2x＝－(2x－2－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数.又由f(x)＝2x－2－x＝2x－x＝2x＋，根据指数函数的图象与性质，可得函数y＝2x和y＝－x都是增函数，所以函数f(x)＝2x－2－x是增函数.故选A. 5.若x满足不等式2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　 ) A. B. C. D.[2，＋∞) 解析：选B　由2x2＋1≤x－2可得2x2＋1≤2－2(x－2).因为y＝2x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.所以2－3≤y＝2x≤21，即函数y＝2x的值域是. 6.(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________. 解析：设g(x)＝a·2x－2－x.因为f(x)为偶函数，所以g(x)是奇函数，所以g(0)＝0，解得a＝1. 答案：1 7.已知函数f(x)＝|x－1|，则f(x)的单调递增区间是________. 解析：法一：由指数函数的性质可知y＝x在定义域上为减函数，故要求f(x)的单调递增区间，只需求y＝|x－1|的单调递减区间.又y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]. 法二：f(x)＝|x－1|＝可画出f(x)的图象(图略)，得其单调递增区间为(－∞，1]. 答案：(－∞，1] 8.设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________. 解析：设t＝2x，∵x∈(－∞，1]， ∴0<t≤2.则原函数有意义等价于1＋t＋at2≥0在t∈(0,2]上恒成立， ∴a≥－，设f(t)＝－， 则f(t)＝－＝－2＋， ∵0<t≤2，∴∈， ∴f(t)≤f＝－，∴a≥－. 答案： 9.设a>0，且a≠1，解关于x的不等式a2x2－3x＋1>ax2＋2x－5. 解：当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减， 所以2x2－3x＋1<x2＋2x－5， 即x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)<0，解得2<x<3， 即不等式的解集为(2,3). 当a>1时，y＝ax在R上单调递增， 所以2x2－3x＋1>x2＋2x－5， 即x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)>0，解得x<2或x>3， 即不等式的解集为(－∞，2)∪(3，＋∞). 综上，当0<a<1时，不等式的解集为(2,3)； 当a>1时，不等式的解集为(－∞，2)∪(3，＋∞). 10.已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6中x∈[0,3]. (1)求函数f(x)的最大值和最小值； (2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围. 解：(1)由已知，得f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3). 令t＝2x，因为0≤x≤3，所以1≤t≤8. 令h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8). 当t∈[1,2]时，h(t)是减函数；当t∈(2,8]时，h(t)是增函数. 所以f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26. (2)因为f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立， 所以a≤f(x)min恒成立. 由(1)知f(x)min＝－10，所以a≤－10. 故a的取值范围为(－∞，－10]. B级——应用创新 1.已知x，y∈R，且2－x＋3－y>2y＋3x，则下列各式正确的是(　 ) A.x－y>0 B.x＋y<0 C.x－