4.3.1 对数的概念（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

4.3.1　对数的概念(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 要准确把握对数的定义，以及ab＝N(a>0，且a≠1)⇔logaN＝b的等价关系，学会将对数与幂进行相互转化.会进行对数式与指数式的互化，会求简单的对数值. 逐点清(一)　对数的概念 [多维度理解] 如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数. 微点助解 (1)定义中为什么规定a＞0，且a≠1? 理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0. ②当a＝0，且N≠0时，logaN不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0. ③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1. (2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫做对数运算，不过对数运算的符号要写在数的前面. [细微点练明] 1.判断正误： (1)只有正数有对数.(　 ) (2)任何一个指数式都可以化成对数式.(　 ) (3)以5为底25的对数等于±2.(　 ) (4)3log3(－5)＝－5成立.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.已知loga2b＝c，则有(　 ) A.a2b＝c B.a2c＝b C.bc＝2a D.c2a＝b 解析：选B　由题意得(a2)c＝b，即a2c＝b. 3.在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　 ) A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞) C.(4，＋∞) D.(3,4) 解析：选B　由对数的概念可得解得3<x<4或x>4. 4.若logx＋1(x＋1)＝1，则x的取值范围是(　 ) A.(－1，＋∞) B.(－1,0)∪(0，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，＋∞) D.(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：选B　∵logx＋1(x＋1)＝1，∴ ∴x＞－1且x≠0. 逐点清(二)　对数与指数的关系 [多维度理解] 1.对数与指数的关系 当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN. 2.对数与指数的关系示意图 微点助解 指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.具体对应如下： 表达形式 a b N 对应的运算 ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由a，b求N ＝a 方根 根指数 被开方数 开方，由N，b求a logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由N，a求b 由此可知： ①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； ②弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键. [细微点练明] 1.已知loga9＝－2，则a的值为(　 ) A.－3 B.－ C.3 D. 解析：选D　∵loga9＝－2，a＞0，且a≠1，∴a－2＝9.解得a＝.故选D. 2.利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值. (1)log2x＝－；(2)logx25＝2；(3)log5x2＝2；(4)2log3x＝4. 解：(1)由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝. (2)由logx25＝2，得x2＝25. ∵x>0，且x≠1，∴x＝5. (3)由log5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5. ∵52＝25>0，(－5)2＝25>0， ∴x＝5或x＝－5. (4)由2 log3x＝4＝22，得log3x＝2， ∴x＝32，即x＝9. 逐点清(三)　对数的性质及对数恒等式的应用　 　 [多维度理解] 1.对数的基本恒等式 (1)alogaN＝N(N>0，a>0，且a≠1)； (2)b＝logaab(b∈R，a>0，且a≠1). 2.对数的性质 (1)loga1＝(a>0，且a≠1). (2)logaa＝(a>0，且a≠1). (3)零和负数没有对数. 微点助解 1.利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 2.对数恒等式的作用 (1)化简求值，如aloga(x＋2)＝x＋2(a＞0，且a≠1，x＞－2). (2)将有关数值转化成幂的形式，如3＝2log23. [细微点练明] 1.已知log3(log2x)＝0，那么x＝(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：选B　因为log3(log2x)＝0，