4.1.3 幂函数（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

第 4 课时　幂函数(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.准确把握幂函数的图象在第一象限的特征(与幂指数α的关系). 3.通过研究幂函数的定义域，利用对称性即可作出幂函数的图象，进而研究性质. 逐点清(一)　幂函数的概念 [多维度理解] 1.幂函数的定义 当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数. 2.幂函数的分类 (1)正整数次幂函数：y＝xn(x∈R，n是正整数). (2)负整数次幂函数：y＝x－n(x≠0，n是正整数). (3)分数次幂函数：自变量x的平方根或立方根是最常见的分数次幂函数. [细微点练明] 1.在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析：选B　∵y＝＝x－2，∴是幂函数；∵y＝2x2的系数为2，∴不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，∴常函数y＝1不是幂函数. 2.已知幂函数的图象过点(2,4)，则其解析式为(　 ) A.y＝x＋2 B.y＝x2 C.y＝ D.y＝x3 答案：B 3.已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则a＝(　 ) A.－1或2 B.－2或1 C.－1 D.1 解析：选C　因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1.所以a＝2或a＝－1.又a－2≠0，所以a＝－1. 4.若函数f(x)＝xα的图象经过点，则f＝(　 ) A. B.3 C.9 D.8 解析：选B　由题意知f(9)＝，所以9α＝，即32α＝3－1，所以α＝－.所以f(x)＝x－.所以f＝－＝3. 逐点清(二)　幂函数的图象与性质 [多维度理解] 1.应用幂运算的基本不等式可推出 (1)对任意的正数r和两正数a>b，有＝r>1，即ar>br. (2)对任意的负数r和两正数a>b，有＝r<1，即ar<br. 2.一般地，对于实数次幂函数y＝xα(α≠0) (1)当a>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0,0)和(1,1)两点； (2)当a<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1,1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近. 3.五个常见幂函数的图象 微点助解 (1)幂函数图象在第一象限的变化规律 在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.如下表 幂函数y＝xα(α为常数) α>0 α<0 图 象 (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. [细微点练明] 1.判断正误： (1)当x∈(0,1)时，x2＞x3.(　 ) (2)y＝x与y＝x的定义域相同.(　 ) (3)若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α＞0.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2.图中C1，C2，C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是(　 ) A.，3，－1 　　　 B.－1,3， C.，－1,3 　　 D.－1，，3 解析：选D　由幂函数y＝xα在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，可得题图中C1对应的α<0，C2对应的0<α<1，C3对应的α>1，结合选项知，指数α的值依次可以是－1，，3. 3.已知幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　 ) A.－1<n<0<m<1 B.n<－1,0<m<1 C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1 解析：选B　在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点如图所示.则由“点低指数大”，知0<m<1，n<－1. 4.已知幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm－1是偶函数，则m的值为________. 解析：∵f(x)为幂函数，∴m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1.当m＝4时，f(x)＝x3是奇函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－2是偶函数，∴m＝－1. 答案：－1 5.观察函数图象及解析式完成下表. y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇