4.1.2 无理数指数幂（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

第3课时　无理数指数幂及指数幂的综合(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1.了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程.　　　　　　　 2.理解指数幂的运算性质. 3.能进行指数幂(实数幂)的运算.　　　　 4.理解幂运算基本不等式. 1.有理数指数幂的基本不等式 (1)对任意的正有理数r和正数a，若a>1，则ar>1；若a<1，则ar<1. (2)对任意的负有理数r和正数a，若a>1，则ar<1；若a<1，则ar>1. (3)由此可知：对任意的正数a>1和两有理数r>s，有＝ar－s>1，即ar>as.对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s<1，即ar<as. 2.无理数指数幂 (1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果. (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. (3)一般的幂运算基本不等式： 对任意的正数u和正数a，若a>1则au>1；若a<1则au<1. 对任意的负数u和正数a，若a>1则au<1；若a<1则au>1. [基点训练] 1.已知x＞0，y＞0，则(xy)＝________. 答案：x2 y3 2.设a＞0，则表示成分数指数幂是________. 答案：a 3.若a>0，b>0，则(1＋a)(1＋b)____1＋a＋b.(填>或<). 答案：> 题型(一)　无理数指数幂的运算 [典例]　计算下列各式： (1)(3·)3 ； (2)a·a÷aπ(a>0)； (3)已知a＝10 ，b＝10 ，c＝10 ，求103－2＋的值(用a，b，c表示). [解]　(1)原式＝(3·2)3＝36×22＝2 916. (2)原式＝a＋－π＝a－. (3)原式＝ ＝＝. [方法技巧] 关于无理数指数幂的运算 (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算. (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留.　　 [针对训练] 计算下列各式： (1)3；(2)(m·m－)6(m>0). 解：(1)原式＝(π－)3＝(π)3 ＝π3. (2)原式＝(m－)6＝(m)6＝mπ. 题型(二)　利用幂运算基本不等式比较大小　 [典例]　已知a>0且a≠1，m，n∈N＋.证明am＋n＋1>am＋an. [证明]　am＋n＋1－am－an＝(am－1)(an－1). 当a>1时，∵m>0，n>0，∴am>1，an>1， ∴(am－1)(an－1)>0. 当0<a<1时，∵m>0，n>0，∴am<1，an<1， ∴(am－1)(an－1)>0. 综上可知，am＋n＋1>am＋an. [方法技巧] 利用幂运算基本不等式比较大小 (1)当u>0时，若a>1，则au>1；若0<a<1，则au<1. (2)当u<0时，若a>1，则au<1；若0<a<1，则au>1.　　 [针对训练] 若a>0，求证：(1＋a)50>1＋50a. 证明：若A>0，B>0， 则(1＋A)(1＋B)>1＋A＋B， ∴(1＋a)2>1＋2a，(1＋a)3>(1＋2a)(1＋a)>1＋3a， ∴(1＋a)5>(1＋2a)(1＋3a)>1＋5a， ∴(1＋a)25>(1＋5a)5>1＋25a， ∴(1＋a)50>(1＋25a)2>1＋50a. 即(1＋a)50>1＋50a. 题型(三)　指数幂运算中的条件求值 [典例]　已知a＋a－＝3(a>0)，求下列各式的值： (1)a＋a－1； (2)a2＋a－2； (3). [解]　(1)将a＋a－＝3两边平方， 得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7. (2)将a＋a－1＝7两边平方，可得a2＋a－2＋2＝49， ∴a2＋a－2＝47. (3)∵a＋a－＝(a)3＋(a－)3 ＝(a＋a－)(a－a·a－＋a－1) ＝3(a＋a－1－1)＝3(7－1)＝18， 而a2＋a－2＝47， ∴原式＝＝＝3. [方法技巧] (1)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. (2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a＞0，b＞0)： ①a±2ab＋b＝(a±b)2； ②(a＋b)(a－b)＝a－b； ③a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； ④a－b＝(a－b)(a＋ab＋b). [针对训练] 1.已知10m＝2,10n＝4，则10的值为(　 ) A.2 B. C. D.2 解析：选B　10＝＝＝＝. 2.已知a2x＝＋1，则＝(　 ) A.2－1 　　　　 B.2－2 C.2＋1 　　　　 D.＋1 　　　　　　　　　　　　 解析：选A