6.4.2 用样本估计总体的离散程度（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

6．4.2　用样本估计总体的离散程度(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．结合实例能用样本估计总体的离散程度参数(极差、方差、标准差)．会求样本的方差、标准差． 2．理解离散程度参数的统计含义，能用样本的统计量估计总体的统计量，并做出合理解释和决策． 1．极差 我们将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，也称全距，用R表示． 2．方差 若设y1，y2，…，yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则称σ2＝为总体方差或方差． 若从总体中随机抽样，获得n个观测数据x1，x2，…，xn，用表示这n个数据的均值，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]为这n个数据的样本方差，也简称为方差． 3．分层抽样的方差 如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分别为n1，n2，样本均值分别为1，2，样本方差分别为s，s，则全部样本的样本容量、样本均值和样本方差分别为 n＝n1＋n2， ＝(n11＋n22)， s2＝. 4．标准差 标准差是方差的算术平方根， 如果σ2是总体方差，则称σ＝是总体标准差； 如果s2是样本方差，则称s＝是样本标准差． 给定数据x1，x2，…，xn，则 s＝ . 微点助解 (1)极差反映一组数据变化的幅度，易受极端的影响，不能反映中间数据的离散状况，不能全面描述数据的离散程度． (2)方差刻画了总体中的个体向总体均值的集中或离散的程度：方差越小，表明个体与均值的距离越近，个体向均值集中得越好．方差也刻画了总体中个体的稳定或波动的程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小． [基点训练] 1．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示，9个分数分别为87,87,94,90,91,90,9x,99,91.则7个剩余分数的方差为(　 ) A．　　　　　　　　 B． C．36 D． 解析：选B　由题意知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4. 故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝. 2．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　 ) A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1 解析：选D　所给图是成绩分布图，平均分是75分，在题图甲中，集中在75分附近的数据最多，题图丙中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，题图乙介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1. 题型(一)　方差和标准差的计算 [典例]　为调查家庭人口数，从某小区抽取了263户家庭，人口数表示如下： 家庭人口数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 家庭数 20 29 48 50 46 36 19 8 4 3 求该样本的平均数、中位数、方差和标准差．(精确到0.01) [解]　根据题意，该样本的平均数为＝(1×20＋2×29＋3×48＋4×50＋5×46＋6×36＋7×19＋8×8＋9×4＋10×3)＝≈4.30； 因为20＋29＋48＝97<，97＋50＝147>，所以该样本的中位数为4. 该样本的方差为s2＝(20×3.32＋29×2.32＋48×1.32＋50×0.32＋46×0.72＋36×1.72＋19×2.72＋8×3.72＋4×4.72＋3×5.72)≈3.87； 因为1.972＝3.880 9，1.982＝3.920 4， 所以该样本的标准差为s＝＝≈1.97. [方法技巧] 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差． (2)标准差、方差的取值范围为[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性．　　 [针对训练] 1．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x及其方差s2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是(　 ) 甲 乙 丙 丁 x 7 8 8 7 s2 6.3 6.3 7 8.7 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选B　因为乙＝丙>甲＝丁，且s＝s<s<s，故应选择乙进入决赛． 2．某校高一(1)班50名学生在世界环境日这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，得到有关数据如下表： 每户丢弃旧塑料袋个数 2 3 4 5 户数