5.4 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质（Word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

　　　　　　 5.4　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 第1课时　y＝Asin(ωx＋φ)的图象(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．理解y＝Asin(ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响． 2．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤． 3．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 1．用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)函数y＝Asin x，x∈R(A>0且A≠1)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有点的(横坐标不变)纵坐标扩大(当A>1时)或缩小(当0<A<1时)到原来的A倍而得到的，函数y＝Asin x的周期是2π，值域为[－A，A]，最大值为A，最小值为－A． (2)函数y＝sin ωx，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的(纵坐标不变)而得到．y＝sin ωx的值域为[－1,1]，周期为. (3)函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度而得到．y＝sin(x＋φ)的值域为[－1,1]，周期是2π. (4)一般地，设A>0，ω>0，φ是常数，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可经过以下步骤得到：将正弦曲线y＝sin x向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平移个单位长度；再将所得曲线上每一点的横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的(纵坐标不变)；进一步将所得曲线上每一点的纵坐标扩大(A>1)或缩小(0<A<1)为原来的A倍(横坐标不变)．函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域为[－A，A]，周期为. 微点助解 1. A对函数y＝Asin x图象影响的注意点 (1)若A>0，则函数y＝Asin x的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A；若A<0，则函数y＝Asin x的值域是[A，－A]，最大值是－A，最小值是A． (2)|A|的大小反映了曲线y＝Asin x波动幅度的大小． (3)y＝Asin x与y＝sin x的图象形状不同，此变换称为纵向伸缩变换． 2. ω对函数y＝Asin ωx图象影响的注意点 (1)ω(ω>0)影响函数y＝sin ωx的周期． (2)y＝sin ωx(ω≠1)与y＝sin x的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换． 3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象平移变换的注意点 (1)y＝sin(x＋φ)与y＝sin x的图象形状是完全一样的，y＝sin(x＋φ)的图象可以由y＝sin x的图象向左或向右平移得到． (2)左右平移是对x本身而言的，如果x前面的系数不是1，应提取系数，然后进行左右平移． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义 [基点训练] 1．判断正误： (1)由函数y＝sin x的图象得到函数y＝sin(x＋φ)的图象，需向左平移|φ|个单位长度．(　 ) (2)“五点法”只能作函数y＝sin x的图象，而不能作函数y＝sin(x＋φ)的图象．(　 ) (3)利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，“ωx＋φ”依次取0，，π，，2π五个值．(　 ) (4)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”，与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为(　 ) A．y＝3sin x B．y＝sin x C．y＝sin 3x D．y＝sinx 答案：A 3．将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是(　 ) A．y＝cos 2x B．y＝1＋cos 2x C．y＝1＋sin D．y＝cos 2x－1 解析：选B　将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin，即y＝sin＝cos 2x的图象．再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝1＋cos 2x. 题型(一)　三角函数图象的平移变换 [典例]　已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，怎样将f(x)的图象变换得到g(x)＝cos ωx的图象？ [解]　因为T＝＝π，所以ω＝2. 所以f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x. 又sin＝sin＝cos 2x. 所以将f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)＝cos 2x的图象． [变式拓展] 本例变为y＝cos的图象如何变换得到y＝sin x的图象？ 解：因为cos＝cos＝sin x， 所以将y＝cos的图象向右平移个